ATRACTOR

Seja \([ABCD]\) um quadrado, \(d\) a medida da sua diagonal e \(l\) a medida do seu lado. Suponhamos que as duas grandezas são comensuráveis, isto é, \(d=mx\) e \(l=nx\) para alguma medida comum \(x\) e para alguns números inteiros positivos \(m\) e \(n\).

Marcamos o ponto \(E\) na diagonal \(\left[ AC\right] \) tal que \(\overline{BC}=\overline{EC}\) e o ponto \(F\) no lado \(\left[ AB\right] \) tal que \(EF\perp AC\). Como \(\overline{AB}=\overline{BC}\), o triângulo \(\left[ ABC\right] \) é isósceles e, como \(A\hat{B}C=90\,^{\circ} \), temos \(C\hat{A}B=A\hat{C}B=45\,^{\circ} \). Como \(E\hat{A}F=C\hat{A}B=45\,^{\circ} \) e \(A\hat{E}F=90\,^{\circ} \), vem \(A\hat{F}E=45\,^{\circ} \), pelo que \(\left[ AFE\right] \) é isósceles, com tal que \(\overline{AE}=\overline{EF}\). Como \(\left[ FBC\right] \) e \(\left[ FEC\right] \) são triângulos rectângulos com a mesma hipotenusa e com um dos catetos igual (\(\overline{BC}=\overline{EC}\)), pelo teorema de Pitágoras o outro cateto também é igual, \(\overline{BF}=\overline{EF}=\overline{AE}\).

Construindo o ponto \(G\), ponto de intersecção da recta paralela a \(AE\) e que passa no ponto \(F\) com a recta paralela a \(EF\) e que passa no ponto \(A\), obtemos um novo quadrado \([AEFG]\). Designando por \(d_{1}\) a medida da sua diagonal e \(l_{1}\) a medida do seu lado, temos: \[l_{1}=\overline{AE}=\overline{AC}-\overline{EC}=\overline{AC}-\overline{BC}=d-l\] \[d_{1}=\overline{AF}=\overline{AB}-\overline{BF}=\overline{AB}-\overline{AE}=l-(d-l)=2l-d\]

Como \(d=mx\) e \(l=nx\), temos: \[l_{1}=mx-nx=(m-n)x=n_{1}x\] \[d_{1}=2nx-mx=(2n-m)x=m_{1}x\] onde \(n_{1}=m-n\) e \(m_{1}=2n-m\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{1}<m\). De facto, \[\begin{array}{ccl} m_{1}\geq m & \Rightarrow & 2n-m\geq m\\ & \Rightarrow & n\geq m\\ & \Rightarrow & l\geq d, \end{array}\] o que é absurdo uma vez que a diagonal de qualquer quadrado é sempre maior do que o seu lado.

Procedendo da mesma forma com o quadrado \([AEFG]\), vamos obter um novo quadrado cuja diagonal é \(d_{2}=m_{2}x\) e cujo lado é \(l_{2}=n_{2}x\), sendo que \(n_{2}=m_{1}-n_{1}\) e \(m_{2}=2n_{1}-m_{1}\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{2}<m_{1}<m\).

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos quadrados, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos: \[m_{1}>m_{2}>m_{3}>m_{4}>...\] tal que \(m_{i}<m,\:\forall i\in\mathbb{N},\) o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que \(m\) (de facto, existem exactamente \(m-1\) elementos: \(1\), \(2\), \(3\),...,\(m-2\) e \(m-1\)). Logo, a diagonal e o lado de \([ABCD]\) são grandezas incomensuráveis.