ATRACTOR

Seja \([ABCDE]\) um pentágono regular, \(d\) a medida da sua diagonal e \(l\) a medida do seu lado. Supondo que \(d\) e \(l\) são comensuráveis, temos \(d=mx\) e \(l=nx\), onde \(m\) e \(n\) são inteiros positivos e \(x\) é uma medida comum à diagonal e ao lado do pentágono.

Construindo a circunferência que circunscreve o pentágono, notemos que os pontos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) e \(E\) dividem esta em arcos de igual amplitude, dada por \(\frac{1}{5}.360\,^{\circ}=72\,^{\circ}\). Seja \(F\) o ponto de intersecção da diagonal \(\left[ AC\right] \) com a diagonal \(\left[ BD\right] \). Como \[F\hat{B}C=D\hat{B}C=\frac{1}{2}.72\,^{\circ}=36\,^{\circ}\] e \[F\hat{C}B=A\hat{C}B=\frac{1}{2}.72\,^{\circ}=36\,^{\circ}\] (ângulos inscritos numa circunferência têm como amplitude metade do valor do respectivo arco), temos que \(\left[ FBC\right] \) é isósceles, com \(\overline{BF}=\overline{CF}\). Como \[F\hat{C}D=A\hat{C}D=\frac{1}{2}.144\,^{\circ}=72\,^{\circ}\] e \[C\hat{F}D=F\hat{B}C+F\hat{C}B=36\,^{\circ}+36\,^{\circ}=72\,^{\circ},\] vem que \(\left[ FCD\right] \) também é isósceles, com \(\overline{CD}=\overline{FD}\). Além disso, \[B\hat{F}C=180\,^{\circ}-C\hat{F}D=180\,^{\circ}-72\,^{\circ}=108\,^{\circ},\] sendo este o valor da amplitude do ângulo interno de um pentágono regular. Podemos então construir um novo pentágono regular \([BFCGH]\), que passa pelos pontos \(B\), \(C\) e \(F\). Designando por \(d_{1}\) a medida da sua diagonal e \(l_{1}\) a medida do seu lado, temos: \[l_{1}=\overline{BF}=\overline{BD}-\overline{FD}=\overline{BD}-\overline{CD}=d-l\] \[d_{1}=\overline{BC}=l\]

Como \(d=mx\) e \(l=nx\), temos: \[l_{1}=mx-nx=(m-n)x=n_{1}x\] \[d_{1}=nx=m_{1}x\] onde \(n_{1}=m-n\) e \(m_{1}=n\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{1}<m\). De facto, o ângulo de maior amplitude do triângulo \(\left[ BCD\right] \) é o ângulo \(\measuredangle BCD\), logo a este ângulo opõem-se o lado de maior comprimento e, portanto, \(d=\overline{BD}>\overline{BC}=l\), ou seja, \(m>n\).

Procedendo da mesma forma com o pentágono \([BFCGH]\), vamos obter um novo pentágono regular cuja diagonal é \(d_{2}=m_{2}x\) e cujo lado é \(l_{2}=n_{2}x\), sendo que \(n_{2}=m_{1}-n_{1}\) e \(m_{2}=n_{1}\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{2}<m_{1}<m\).

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos pentágonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos: \[m_{1}>m_{2}>m_{3}>m_{4}>...\] tal que \(m_{i}<m,\:\forall i\in\mathbb{N},\) o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que \(m\) (de facto, existem exactamente \(m-1\) elementos: \(1\), \(2\), \(3\),...,\(m-2\) e \(m-1\)). Logo, a diagonal e o lado de \([ABCDE]\) são grandezas incomensuráveis.