ATRACTOR

Consideremos um octógono regular para o qual os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são vértices consecutivos, \(d\) a medida da sua segunda diagonal mais curta e \(l\) a medida do seu lado. Supondo que \(d\) e \(l\) são comensuráveis, temos \(d=mx\) e \(l=nx\), onde \(m\) e \(n\) são inteiros positivos e \(x\) é uma medida comum à segunda diagonal mais curta e ao lado do octógono. Note-se que cada lado é uma corda da circunferência que circunscreve o polígono à qual corresponde um arco de amplitude \(\frac{1}{8}.360\,^{\circ}=45\,^{\circ}\). Marcamos o ponto \(E\) na diagonal \(\left[ AD\right] \) tal que \(\overline{AE}=\overline{AB}=l\). Então, como \(\left[ AEB\right] \) é isósceles e \[E\hat{A}B=D\hat{A}B=\frac{1}{2}.2.45\,^{\circ}=45\,^{\circ},\] vem \[A\hat{E}B=A\hat{B}E=\frac{1}{2}.(180\,^{\circ}-45\,^{\circ})=67,5\,^{\circ}.\] Além disso, \[C\hat{B}E=C\hat{B}A-A\hat{B}E=\frac{1}{2}.6.45\,^{\circ}-67,5\,^{\circ}=135\,^{\circ}-67,5\,^{\circ}=67,5\,^{\circ}=A\hat{E}B,\] logo a diagonal \(\left[ AD\right] \) é paralela ao lado \(\left[ BC\right] \). Marcamos agora o ponto \(F\) na diagonal \(\left[ AD\right] \) tal que \(\overline{EF}=\overline{BC}=l\). Então, como \(\left[ EF\right] \) é paralelo a \(\left[ BC\right] \), \([EBCF]\) é um paralelogramo, pelo que \[D\hat{F}C=D\hat{E}B=180\,^{\circ}-A\hat{E}B=112,5\,^{\circ}.\] Como \[A\hat{C}D=\frac{1}{2}.5.45\,^{\circ}=112,5\,^{\circ}=D\hat{F}C\] e \(A\hat{D}C=C\hat{D}F\), temos que os triângulos \(\left[ ADC\right] \) e \(\left[ CDF\right] \) são semelhantes, pelo que \(\left[ DC\right] \) é a segunda diagonal mais curta de um octógono regular de lado \(\left[ DF\right]\). Sendo assim, podemos construir um octógono regular que passa pelos pontos \(D\), \(F\) e \(C\), cujas medidas do lado e da segunda diagonal mais curta são dadas por:\[l_{1}=\overline{DF}=\overline{AD}-\overline{AE}-\overline{EF}=d-2l\] \[d_{1}=\overline{DC}=l\]

Como \(d=mx\) e \(l=nx\), temos: \[l_{1}=mx-2nx=(m-2n)x=n_{1}x\] \[d_{1}=nx=m_{1}x\] onde \(n_{1}=m-2n\) e \(m_{1}=n\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{1}<m\). De facto, \[\begin{array}{ccl} m_{1}\geq m & \Rightarrow & n\geq m\\ & \Rightarrow & l\geq d, \end{array}\] o que é absurdo uma vez que qualquer diagonal de um polígono regular é sempre maior do que o seu lado.

Procedendo da mesma forma, vamos obter um novo octógono regular cuja segunda diagonal mais curta é \(d_{2}=m_{2}x\) e cujo lado é \(l_{2}=n_{2}x\), sendo que \(n_{2}=m_{1}-2n_{1}\) e \(m_{2}=n_{1}\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{2}<m_{1}<m\).

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos octógonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos: \[m_{1}>m_{2}>m_{3}>m_{4}>...\] tal que \(m_{i}<m,\:\forall i\in\mathbb{N},\) o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que \(m\) (de facto, existem exactamente \(m-1\) elementos: \(1\), \(2\), \(3\),...,\(m-2\), e \(m-1\)). Logo, a segunda diagonal mais curta e o lado do octógono regular são grandezas incomensuráveis.