ATRACTOR

Seja \([ABCDEF]\) um hexágono regular, \(d\) a medida da sua diagonal mais curta e \(l\) a medida do seu lado. Supondo que \(d\) e \(l\) são comensuráveis, temos \(d=mx\) e \(l=nx\), onde \(m\) e \(n\) são inteiros positivos e \(x\) é uma medida comum à diagonal mais curta e ao lado do hexágono.

Seja \(G\) o ponto na diagonal \(\left[ AC\right] \) tal que \(\overline{CB}=\overline{CG}\), \(I\) o ponto de intersecção da recta \(AB\) com a recta \(CD\) e \(H\) o ponto no segmento de recta \(\left[ AI\right] \) tal que \(H\hat{C}I=H\hat{C}A\). Notemos, em primeiro lugar, que o valor da amplitude do ângulo interno de um hexágono regular é de \(120\,^{\circ}\). Então, como \(A\hat{B}C=B\hat{C}D=120\,^{\circ}\), vem \[C\hat{B}I=B\hat{C}I=180\,^{\circ}-120\,^{\circ}=60\,^{\circ},\] pelo que \(\left[ BCI\right] \) é um triângulo equilátero. Relativamente aos triângulos \(\left[ CHI\right] \) e \(\left[ CHG\right] \), temos que \[H\hat{C}I=H\hat{C}A=H\hat{C}G,\] \[\overline{CI}=\overline{CB}=\overline{CG}\] e \(\left[ CH\right] \) é um lado comum, logo eles são congruentes, com \(\overline{HI}=\overline{HG}\) e \[C\hat{G}H=C\hat{I}H=C\hat{I}B=60\,^{\circ}.\] Logo, \[A\hat{G}H=180\,^{\circ}-60\,^{\circ}=120\,^{\circ},\] \[H\hat{A}G=B\hat{A}C=\frac{1}{2}(180\,^{\circ} - A\hat{B}C)=30\,^{\circ}\] (note-se que \(\left[ ABC\right] \) é isósceles, dado que \(\overline{AB}=\overline{BC}\)) e \[A\hat{H}G=180\,^{\circ}-A\hat{G}H-H\hat{A}G=180\,^{\circ}-120\,^{\circ}-30\,^{\circ}=30\,^{\circ},\] pelo que \(\left[ AGH\right] \) é isósceles, com \(\overline{AG}=\overline{HG}\). Podemos então construir um novo hexágono \([AGHJKL]\), que passa pelos pontos \(A\), \(G\) e \(H\). Designando por \(d_{1} \) a medida da sua diagonal e \(l_{1}\) a medida do seu lado, temos: \[l_{1}=\overline{AG}=\overline{AC}-\overline{GC}=\overline{AC}-\overline{BC}=d-l\] \[d_{1}=\overline{AH}=\overline{AI}-\overline{HI}=\overline{AB}+\overline{BI}-\overline{HG}=\overline{AB}+\overline{BC}-\overline{AG}=2l-(d-l)=3l-d\]

Como \(d=mx\) e \(l=nx\), temos: \[l_{1}=mx-nx=(m-n)x=n_{1}x\] \[d_{1}=3nx-mx=(3n-m)x=m_{1}x\] onde \(n_{1}=m-n\) e \(m_{1}=3n-m\) são dois números inteiros positivos, com \(n_{1}<n\). De facto, \[\begin{array}{ccl} n_{1}\geq n & \Rightarrow & m-n\geq n\\ & \Rightarrow & m\geq 2n\\ & \Rightarrow & mx \geq 2nx\\ & \Rightarrow & d \geq 2l, \end{array}\] o que é absurdo, uma vez que, em qualquer triângulo, cada lado tem um comprimento menor do que a soma do comprimento dos outros dois lados; considerando, por exemplo, o triângulo \(\left[ ABC\right] \), vem \(d=\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC}=2l\).

Procedendo da mesma forma com o hexágono \([AGHJKL]\), vamos obter um novo hexágono regular cuja diagonal é \(d_{2}=m_{2}x\) e cujo lado é \(l_{2}=n_{2}x\), sendo que \(n_{2}=m_{1}-n_{1}\) e \(m_{2}=3n_{1}-m_{1}\) são dois números inteiros positivos, com \(n_{2}<n_{1}<n\).

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos hexágonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos: \[n_{1}>n_{2}>n_{3}>n_{4}>...\] tal que \(n_{i}<n,\:\forall i\in\mathbb{N},\) o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que \(n\) (de facto, existem exactamente \(n-1\) elementos: \(1\), \(2\), \(3\),..., \(n-2\) e \(n-1\)). Logo, a diagonal mais curta e o lado de \([ABCDEF]\) são grandezas incomensuráveis.