ATRACTOR

Consideremos um dodecágono regular para o qual os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são vértices consecutivos, \(d\) a medida da sua segunda diagonal mais curta e \(l\) a medida do seu lado. Supondo que \(d\) e \(l\) são comensuráveis, temos \(d=mx\) e \(l=nx\), onde \(m\) e \(n\) são inteiros positivos e \(x\) é uma medida comum à segunda diagonal mais curta e ao lado do dodecágono. Note-se que cada lado é uma corda da circunferência de centro \(O\) que circunscreve o polígono à qual corresponde um arco de amplitude \(\frac{1}{12}.360\,^{\circ}=30\,^{\circ}\). Marcamos o ponto \(E\) na diagonal \(\left[ AD\right] \) tal que \(\overline{AE}=\overline{AB}=l\). Então, como \(\left[ AEB\right] \) é isósceles e \[E\hat{A}B=D\hat{A}B=\frac{1}{2}.2.30\,^{\circ}=30\,^{\circ},\] vem \[A\hat{E}B=A\hat{B}E=\frac{1}{2}.(180\,^{\circ}-30\,^{\circ})=75\,^{\circ}.\] Além disso, \[C\hat{B}E=C\hat{B}A-A\hat{B}E=\frac{1}{2}.10.30\,^{\circ}-75\,^{\circ}=150\,^{\circ}-75\,^{\circ}=75\,^{\circ}=A\hat{E}B,\] logo a diagonal \(\left[ AD\right] \) é paralela ao lado \(\left[ BC\right] \). Marcamos agora o ponto \(F\) na diagonal \(\left[ AD\right] \) tal que \(\overline{EF}=\overline{BC}=l\). Então, como \(\left[ EF\right] \) é paralelo \(\left[ BC\right] \), \(\left[ EBCF\right] \) é um paralelogramo, pelo que \[D\hat{F}C=D\hat{E}B=180\,^{\circ}-A\hat{E}B=105\,^{\circ}.\] Como \[A\hat{C}D=\frac{1}{2}.9.30\,^{\circ}=135\,^{\circ}>105\,^{\circ}=D\hat{F}C,\] queremos ter um ponto \(G\) na semi-recta \(DC\) tal que \(D\hat{F}G=135\,^{\circ}\). Seja \(G\) o ponto na semi-recta \(DC\) tal que \(D\hat{E}G=90\,^{\circ}\). Como \(\left[ AE\right] \) é paralelo a \(\left[ BC\right] \) e \(\overline{AE}=\overline{BC}\), \(\left[ ABCE\right] \) é um paralelogramo, pelo que \(D\hat{E}C=D\hat{A}B=30\,^{\circ}\). Então, vem \[E\hat{D}C=A\hat{D}C=\frac{1}{2}.2.30\,^{\circ}=30\,^{\circ}=D\hat{E}C\] e \(\left[ ECD\right] \) é um triângulo isósceles, com \[\overline{DC}=\overline{EC}=\overline{AB}=l.\] Como \[D\hat{G}E=180\,^{\circ} - D\hat{E}G - E\hat{D}G=180\,^{\circ}-90\,^{\circ}-30\,^{\circ}=60\,^{\circ}\] e \[E\hat{C}G=D\hat{E}C+E\hat{D}C=60\,^{\circ},\] o triângulo \(\left[ EGC\right] \) é equilátero, com \[\overline{EG}=\overline{CG}=\overline{EC}=l.\] Além disso, como \(\overline{EG}=l=\overline{EF}\), o triângulo rectângulo \(\left[ FEG\right] \) é isósceles, pelo que \[E\hat{G}F = E\hat{F}G=45\,^{\circ}.\] Logo, \[D\hat{F}G = 180\,^{\circ} - E\hat{F}G=135\,^{\circ},\] como pretendíamos.

Como \(A\hat{D}C = G\hat{D}F\) e \(A\hat{C}D = D\hat{F}G\), temos que os triângulos \(\left[ ACD\right] \) e \(\left[ DFG\right] \) são semelhantes, pelo que \(\left[ DG\right] \) é a segunda diagonal mais curta de um dodecágono regular de lado \(\left[ DF\right] \). Sendo assim, podemos construir um dodecágono regular que passa pelos pontos \(D\), \(F\) e \(G\), cujas medidas do lado e da segunda diagonal mais curta são dadas por: \[l_{1}=\overline{DF}=\overline{AD}-\overline{AE}-\overline{EF}=d-2l\] \[d_{1}=\overline{DG}=\overline{DC}+\overline{CG}=l+l=2l\]

Como \(d=mx\) e \(l=nx\), temos: \[l_{1}=mx-2nx=(m-2n)x=n_{1}x\] \[d_{1}=2nx=m_{1}x\] onde \(n_{1}=m-2n\) e \(m_{1}=2n\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{1}<m\). De facto, \[\begin{array}{ccl} m_{1}\geq m & \Rightarrow & 2n\geq m\\ & \Rightarrow & 2l\geq d\\ & \Rightarrow & \frac{d}{l}\leq 2, \end{array}\] o que é absurdo uma vez que \[\begin{array}{ccl} \frac{d}{l} & = & 1+2 \cos\frac{\pi}{12}\\ & > & 1+2 \cos\frac{\pi}{3}\\ & = & 1+2\frac{1}{2}\\ & = & 2. \end{array}\] Procedendo da mesma forma, vamos obter um novo dodecágono regular cuja segunda diagonal mais curta é \(d_{2}=m_{2}x\) e cujo lado é \(l_{2}=n_{2}x\), sendo que \(n_{2}=m_{1}-2n_{1}\) e \(m_{2}=2n_{1}\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{2}<m_{1}<m \).

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos dodecágonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos: \[m_{1}>m_{2}>m_{3}>m_{4}>...\] tal que \(m_{i}<m,\:\forall i\in\mathbb{N},\) o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que \(m\) (de facto, existem exactamente \(m-1\) elementos: \(1\), \(2\), \(3\),..., \(m-2\) e \(m-1\)). Logo, a segunda diagonal mais curta e o lado do dodecágono regular são grandezas incomensuráveis.