ATRACTOR

Seja \([ABCDEFGHIJ]\) um decágono regular de centro em \(O\) cujas medidas do lado e da diagonal mais longa são \(l\) e \(d\), respectivamente. Sejam \([AF]\), \([CH]\) e \([EJ]\) três diagonais que passam pelo centro do decágono e \([AH]\) e \([BE]\) duas das segundas diagonais mais curtas. Consideremos os pontos \(K\) e \(L\), resultantes da intersecção entre as diagonais \([AH]\) e \([BE]\) com as diagonais \([EJ]\) e \([CH]\), respectivamente. Temos que \[J\hat{A}L=J\hat{A}H=\frac{1}{2}.2.36\,^{\circ}=36\,^{\circ},\] \[L\hat{J}A=E\hat{J}A=\frac{1}{2}.4.36\,^{\circ}=72\,^{\circ}\] e \[J\hat{L}A=180\,^{\circ}-J\hat{A}L-L\hat{J}A=72\,^{\circ}=L\hat{J}A,\] logo \([AJL]\) é um triângulo isósceles, com \(\overline{AL}=\overline{AJ}=l\). Analogamente, \([BCK]\) também é isósceles, com \(\overline{BK}=\overline{BC}=l\). Além disso, como estes triângulos são congruentes, temos \(\overline{JL}=\overline{CK}\). O triângulo \([LAO]\) também é isósceles, uma vez que \[L\hat{A}O=H\hat{A}F=\frac{1}{2}.2.36\,^{\circ}=36\,^{\circ}\] e \[L\hat{O}A=J\hat{O}A=36\,^{\circ}=L\hat{A}O,\] logo \(\overline{LO}=\overline{AL}=l\) e \[\overline{KO}=\overline{CO}-\overline{CK}=\overline{JO}-\overline{JL}=\overline{LO}=l.\] Portanto, \[\overline{AB}=\overline{BK}=\overline{KO}=\overline{OL}=\overline{LA}=l.\] Por outro lado, temos que \[L\hat{A}B=H\hat{A}B=\frac{1}{2}.6.36\,^{\circ}=108\,^{\circ},\] \[A\hat{B}K=A\hat{B}E=\frac{1}{2}.6.36\,^{\circ}=108\,^{\circ},\] \[B\hat{K}O=180\,^{\circ}-B\hat{K}C=108\,^{\circ},\] \[K\hat{O}L=C\hat{O}J=3.36\,^{\circ}=108\,^{\circ}\] e \[O\hat{L}A=180\,^{\circ}-J\hat{L}A=108\,^{\circ}.\] Então, o polígono \([ABKLO]\) tem os lados todos iguais e os ângulos internos todos iguais, pelo que é um pentágono regular de lado \(\overline{AB}=l\) e cuja diagonal é \(\overline{AO}=\frac{1}{2}\overline{AF}=\frac{1}{2}d\). Se a diagonal mais longa de \([ABCDEFGHIJ]\) e o seu lado fossem comensuráveis, ou seja, se a razão \(\frac{d}{l}\) fosse um número racional, então a razão \(\frac{\frac{1}{2}d}{l}=\frac{1}{2}.\frac{d}{l}\) também seria racional e a diagonal de \([ABKLO]\) seria comensurável com o seu lado, o que já vimos que não acontece. Portanto, a diagonal mais longa e o lado do decágono \([ABCDEFGHIJ]\) são grandezas incomensuráveis.

Nota: de facto, demonstra-se que a razão entre a diagonal mais longa e o lado de um polígono regular de \(2n\) lados, com \(n\) um número ímpar maior do que \(3\), é sempre o dobro da razão entre a diagonal mais longa e o lado de um polígono regular de \(n\) lados. O caso analisado acima corresponde a tomar \(n=5\). Para visualizar o caso seguinte, consulte esta app.