ATRACTOR

Seja \([ABCDEFGHIJ]\) um decágono regular de centro em \(O\) cujas medidas do lado, da diagonal mais longa e da segunda diagonal mais curta são \(l\), \(d\) e \(d'\), respectivamente. Sejam \([AF]\) e \([CH]\) duas diagonais que passam pelo centro do decágono, \([AD]\) a segunda diagonal mais curta que une os vértices \(A\) e \(D\), e \(K\) o ponto de intersecção da diagonal \([AD]\) com a diagonal \([CH]\). Então, \[C\hat{D}K=C\hat{D}A=\frac{1}{2}.2.36\,^{\circ}=36\,^{\circ}\] e \[K\hat{C}D=H\hat{C}D=\frac{1}{2}.4.36\,^{\circ}=72\,^{\circ},\] pelo que \[C\hat{K}D=180\,^{\circ}-C\hat{D}K-K\hat{C}D=72\,^{\circ}\] e \([KCD]\) é um triângulo isósceles, com \(\overline{KD}=\overline{CD}=l\). Além disso, \[O\hat{A}K=F\hat{A}D=\frac{1}{2}.2.36\,^{\circ}=36\,^{\circ},\] \[A\hat{K}O=C\hat{K}D=72\,^{\circ}\] e \[A\hat{O}K=180\,^{\circ}-O\hat{A}K-A\hat{K}O=72\,^{\circ},\] pelo que \([AOK]\) é um triângulo isósceles, com \(\overline{AK}=\overline{AO}\). Portanto, a medida da diagonal mais longa é dada por: \[d=\overline{AF}=2\overline{AO}=2\overline{AK}=2\left(\overline{AD}-\overline{KD}\right)=2(d'-l)\]

Logo, vem: \[\frac{d}{l}=2\left(\frac{d'}{l}-1\right)\]

Equivalentemente, temos: \[\frac{d'}{l}=\frac{1}{2}.\frac{d}{l}+1\]

Assim, \(\frac{d}{l}\) será um número racional se e só se \(\frac{d'}{l}\) também o fôr, o que já vimos que não acontece. Portanto, a diagonal mais longa e o lado do decágono \([ABCDEFGHIJ]\) são grandezas incomensuráveis.