ATRACTOR

Consideremos um decágono regular para o qual os pontos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são vértices consecutivos, \(d\) a medida da sua segunda diagonal mais curta e \(l\) a medida do seu lado. Supondo que \(d\) e \(l\) são comensuráveis, temos \(d=mx\) e \(l=nx\), onde \(m\) e \(n\) são inteiros positivos e \(x\) é uma medida comum à segunda diagonal mais curta e ao lado do decágono. Note-se que cada lado é uma corda da circunferência que circunscreve o polígono à qual corresponde um arco de amplitude \(\frac{1}{10}.360\,^{\circ}=36\,^{\circ}\). Marcamos o ponto \(E\) na diagonal \([AD]\) tal que \(\overline{AE}=\overline{AB}=l\). Então, como \([AEB]\) é isósceles e \[E\hat{A}B=D\hat{A}B=\frac{1}{2}.2.36\,^{\circ}=36\,^{\circ},\] vem \[A\hat{E}B=A\hat{B}E=\frac{1}{2}.(180\,^{\circ}-36\,^{\circ})=72\,^{\circ}.\] Além disso, \[C\hat{B}E=C\hat{B}A-A\hat{B}E=\frac{1}{2}.8.36\,^{\circ}-72\,^{\circ}=144\,^{\circ}-72\,^{\circ}=72\,^{\circ}=A\hat{E}B,\] logo a diagonal \([AD]\) é paralela ao lado \([BC]\). Marcamos agora o ponto \(F\) na diagonal \([AD]\) tal que \(\overline{EF}=\overline{BC}=l\). Então, como \([EF]\) é paralelo a \([BC]\), \([EBCF]\) é um paralelogramo, pelo que \[D\hat{F}C=D\hat{E}B=180\,^{\circ}-A\hat{E}B=108\,^{\circ}.\] Como \[A\hat{C}D=\frac{1}{2}.7.36\,^{\circ}=126\,^{\circ}>108\,^{\circ}=D\hat{F}C,\] marcamos o ponto \(G\) na semi-recta \(DC\) tal que \(D\hat{F}G=126\,^{\circ}\). Como \(A\hat{D}C=G\hat{D}F\) e \(A\hat{C}D=D\hat{F}G\), temos que os triângulos \([ACD]\) e \([DFG]\) são semelhantes, pelo que \([DG]\) é a segunda diagonal mais curta de um decágono regular de lado \([DF]\). Além disso, temos \[C\hat{G}F=D\hat{G}F=D\hat{A}C=\frac{1}{2}.36\,^{\circ}=18\,^{\circ}\] e \[C\hat{F}G=D\hat{F}G-D\hat{F}C=126\,^{\circ}-108\,^{\circ}=18\,^{\circ},\] pelo que \([FCG]\) é isósceles, com \(\overline{CG}=\overline{CF}\). Temos também que \[F\hat{D}C=A\hat{D}C=\frac{1}{2}.2.36\,^{\circ}=36\,^{\circ}\] e \[F\hat{C}D=C\hat{G}F+C\hat{F}G=36\,^{\circ},\] pelo que \([DFC]\) também é isósceles, com \(\overline{CF}=\overline{DF}\). Sendo assim, podemos construir um decágono regular que passa pelos pontos \(D\), \(F\) e \(G\), cujas medidas do lado e da segunda diagonal mais curta são dadas por: \[l_{1}=\overline{DF}=\overline{AD}-\overline{AE}-\overline{EF}=d-2l\] \[d_{1}=\overline{DG}=\overline{DC}+\overline{CG}=\overline{DC}+\overline{DF}=l+(d-2l)=d-l\]

Como \(d=mx\) e \(l=nx\), temos: \[l_{1}=mx-2nx=(m-2n)x=n_{1}x\] \[d_{1}=mx-nx=(m-n)x=m_{1}x\] onde \(n_{1}=m-2n\) e \(m_{1}=m-n\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{1}<m\). Procedendo da mesma forma, vamos obter um novo decágono regular cuja segunda diagonal mais curta é \(d_{2}=m_{2}x\) e cujo lado é \(l_{2}=n_{2}x\), sendo que \(n_{2}=m_{1}-2n_{1}\) e \(m_{2}=m_{1}-n_{1}\) são dois números inteiros positivos, com \(m_{2}<m_{1}<m\).

Uma vez que podemos continuar indefinidamente a construir novos decágonos regulares, vamos obter uma sucessão estritamente decrescente de números inteiros positivos: \[m_{1}>m_{2}>m_{3}>m_{4}>...\] tal que \(m_{i}<m,\:\forall i\in\mathbb{N},\) o que é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que \(m\) (de facto, existem exactamente \(m-1\) elementos: \(1\), \(2\), \(3\),...,\(m-2\), e \(m-1\)). Logo, a segunda diagonal mais curta e o lado do decágono regular são grandezas incomensuráveis.