ATRACTOR

No caso do quadrado, a razão entre a diagonal e o lado é \(\sqrt{2}\). Supondo que existiam inteiros positivos \(m\) e \(n\) tais que \(\frac{m}{n}=\sqrt{2}\), temos: \[\frac{m}{n}=\sqrt{2}\] \[\left(\frac{m}{n}\right)^{2}=2\] \[\frac{m^{2}}{n^{2}}=2\] \[m^{2}=2n^{2}\]

Então, como \(m^{2}\) é par, \(m\) também o é, logo existe um inteiro positivo \(m_{1}\) tal que \(m=2m_{1}\). Substituindo, vem: \[(2m_{1})^{2}=2n^{2}\] \[4m_{1}^{2}=2n^{2}\] \[2m_{1}^{2}=n^{2}\]

Como \(n^{2}\) é par, \(n\) também o é, logo existe um inteiro positivo \(n_{1}\) tal que \(n=2n_{1}\). Substituindo, vem:\[2m_{1}^{2}=(2n_{1})^{2}\] \[2m_{1}^{2}=4n_{1}^{2}\] \[m_{1}^{2}=2n_{1}^{2}\]

Analogamente, conclui-se que \(m_{1}\) e \(n_{1}\) também são pares, logo existem \(m_{2}\) e \(n_{2}\) inteiros positivos tais que \(m_{1}=2m_{2}\) e \(n_{1}=2n_{2}\). Substituindo, vem: \[m_{2}^{2}=2n_{2}^{2}\]

Do mesmo modo, temos que \(m_{2}\) e \(n_{2}\) também são pares, logo existem \(m_{3}\) e \(n_{3}\) inteiros positivos tais que \(m_{2}=2m_{3}\) e \(n_{2}=2n_{3}\), sendo \(m_{3}^{2}=2n_{3}^{2}\), e assim sucessivamente.

Obtemos então uma sucessão de números inteiros positivos \[m_{1}>m_{2}>m_{3}>m_{4}>...\] que é estritamente decrescente, uma vez que cada termo é metade do anterior. Mas isso é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que \(m\) (note-se que este é o mesmo argumento utilizado na demonstração geométrica). Logo, \(\sqrt{2}\) é irracional, de onde se conclui a incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado.