ATRACTOR

No caso do pentágono regular, a razão entre a diagonal e o lado é \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Supondo que existiam inteiros positivos \(m\) e \(n\) tais que \(\frac{m}{n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\), temos: \[\frac{m}{n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\] \[\left(\frac{2m}{n}-1\right)^{2}=5\] \[\frac{4m^{2}}{n^{2}}-\frac{4m}{n}-4=0\] \[m^{2}-mn-n^{2}=0\] \[\left(m-n\right)\left(m+n\right)=mn\]

Se \(m\) e \(n\) fossem simultaneamente ímpares, então \(mn\) também o seria, mas \(m-n\) e \(m+n\) seriam ambos pares, pelo que \(\left(m-n\right)\left(m+n\right)\) seria par. Se \(m\) fosse par e \(n\) fosse ímpar (ou vice-versa), então \(mn\) seria par, mas \(m-n\) e \(m+n\) seriam ambos ímpares, pelo que \(\left(m-n\right)\left(m+n\right)\) seria ímpar. Logo, \(m\) e \(n\) são ambos pares, pelo que existem inteiros positivos \(m_{1}\) e \(n_{1}\) tais que \(m=2m_{1}\) e \(n=2n_{1}\). Substituindo, vem: \[\left(2m_{1}-2n_{1}\right)\left(2m_{1}+2n_{1}\right)=2m_{1}.2n_{1}\] \[4\left(m_{1}-n_{1}\right)\left(m_{1}+n_{1}\right)=4m_{1}n_{1}\] \[\left(m_{1}-n_{1}\right)\left(m_{1}+n_{1}\right)=m_{1}n_{1}\]

Analogamente, conclui-se que \(m_{1}\) e \(n_{1}\) também são pares, logo existem \(m_{2}\) e \(n_{2}\) inteiros positivos tais que \(m_{1}=2m_{2}\) e \(n_{1}=2n_{2}\). Substituindo, vem: \[\left(m_{2}-n_{2}\right)\left(m_{2}+n_{2}\right)=m_{2}n_{2}\]

Do mesmo modo, temos que \(m_{2}\) e \(n_{2}\) também são pares, logo existem \(m_{3}\) e \(n_{3}\) inteiros positivos tais que \(m_{2}=2m_{3}\) e \(n_{2}=2n_{3}\), sendo \(\left(m_{3}-n_{3}\right)\left(m_{3}+n_{3}\right)=m_{3}n_{3}\), e assim sucessivamente.

Obtemos então uma sucessão de números inteiros positivos \[m_{1}>m_{2}>m_{3}>m_{4}>...\] que é estritamente decrescente, uma vez que cada termo é metade do anterior. Mas isso é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que \(m\). Logo, \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) é irracional, de onde se conclui a incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do pentágono regular.