ATRACTOR

No caso do hexágono regular, a razão entre a diagonal e o lado é \(\sqrt{3}\). Supondo que existiam inteiros positivos \(m\) e \(n\) tais que \(\frac{m}{n}=\sqrt{3}\), temos: \[\frac{m}{n}=\sqrt{3}\] \[\left(\frac{m}{n}\right)^{2}=3\] \[\frac{m^{2}}{n^{2}}=3\] \[m^{2}=3n^{2}\]

Então, como \(m^{2}\) é múltiplo de \(3\), \(m\) também o é, logo existe um inteiro positivo \(m_{1}\) tal que \(m=3m_{1}\). Substituindo, vem: \[(3m_{1})^{2}=3n^{2}\] \[9m_{1}^{2}=3n^{2}\] \[3m_{1}^{2}=n^{2}\]

Como \(n^{2}\) é múltiplo de \(3\), \(n\) também o é, logo existe um inteiro positivo \(n_{1}\) tal que \(n=3n_{1}\). Substituindo, vem: \[3m_{1}^{2}=(3n_{1})^{2}\] \[3m_{1}^{2}=9n_{1}^{2}\] \[m_{1}^{2}=3n_{1}^{2}\]

Analogamente, conclui-se que \(m_{1}\) e \(n_{1}\) também são múltiplos de \(3\), logo existem \(m_{2}\) e \(n_{2}\) inteiros positivos tais que \(m_{1}=3m_{2}\) e \(n_{1}=3n_{2}\). Substituindo, vem: \[m_{2}^{2}=3n_{2}^{2}\]

Do mesmo modo, temos que \(m_{2}\) e \(n_{2}\) também são pares, logo existem \(m_{3}\) e \(n_{3}\) inteiros positivos tais que \(m_{2}=3m_{3}\) e \(n_{2}=3n_{3}\), sendo \(m_{3}^{2}=3n_{3}^{2}\), e assim sucessivamente.

Obtemos então uma sucessão de números inteiros positivos \[m_{1}>m_{2}>m_{3}>m_{4}>...\] que é estritamente decrescente, uma vez que cada termo é um terç do anterior. Mas isso é absurdo, dado que não pode haver uma infinidade de números inteiros positivos distintos menores do que \(m\). Logo, \(\sqrt{3}\) é irracional, de onde se conclui a incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do hexágono regular.