Caminhos numa superfície 
Inversão
Quando dizemos que todo o número real \(a\) (não nulo) tem inverso para o produto usual estamos a afirmar a existência um número \(b\) que multiplicado (à esquerda ou à direita) nos dá o elemento neutro (\(e=1\)), ou seja, tal que \(a.b=b.a=1\). E, no caso do produto habitual, sabemos que \(b=\frac{1}{a}\).
No produto de caminhos (nas classes de homotopia) a verificação a fazer é análoga: ver que, dado um caminho, existe outro tal que multiplicado (à esquerda ou à direita) produz um caminho que é homotópico ao caminho constante.
Mais formalmente, dado \(f\) de \([0,1]\) em \(S\), de \(A\) para \(A'\), existe \(f^{*}\) de \([0,1]\) em \(S\) tal que \(f.f^{*}\) e \(f^{*}.f\) são homotópicos a \(e\) e a \(e'\), respectivamente. Aqui \(f^{*}\) é o caminho que percorre \(f\) em sentido contrário, ou seja, \(f^{*}\) de \([0,1]\) em \(S\) é dado por \(f^{*}=f(1-t)\).
Tendo em conta a descrição da operação em caminhos percorridos durante uma hora, os produtos acima vão diferir no tempo e velocidades com que se percorre cada trilho.
No caso de \(f.f^{*}\):
Corresponde a percorrer \(f\) na primeira meia hora e \(f^{*}\) na última. Isto significa, na primeira meia hora, percorrer \(f\) (com o dobro da velocidade) e na última meia hora voltar para trás (também com o dobro da velocidade), de regresso ao ponto inicial. Este produto é homotópico ao caminho \(e\) constante (igual ao valor inicial de \(f\)) e, formalmente, \(g_{1}=f.f^{*}\) de \([0,1]\) em \(S\) pode ser definido por:\[g_{1}(t)=\begin{cases} \begin{array}{lcc} f(2t) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.5\\ f(2-2t) & \mbox{se} & 0.5<t\leq1 \end{array}\end{cases}\]
No caso de \(f^{*}.f\):
Corresponde a percorrer \(f^{*}\) na primeira meia hora e \(f\) na última. Isto significa, partir do ponto final de \(f\) e durante meia hora percorrer o caminho todo para trás (com o dobro da velocidade) e na última meia hora percorrer \(f\) com a orientação original (também com o dobro da velocidade), de regresso ao ponto final. Este produto é homotópico ao caminho \(e'\) constante (igual ao valor final de \(f\)) e, formalmente, \(g_{2}=f^{*}.f\) de \([0,1]\) em \(S\) pode ser definida por: \[g_{2}(t)=\begin{cases} \begin{array}{lcc} f(1-2t) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.5\\ f(2t-1) & \mbox{se} & 0.5<t\leq1 \end{array}\end{cases}\]
Portanto, os caminhos produto são diferentes de \(e\) e de \(e'\)! No entanto, verifica-se que são todos homotópicos.
Formalmente, uma homotopia \(H\) de \([0,1]\times[0,1]\) em \(S\) (entre \(g_{1}\) e o caminho constante \(f(0)\)) pode ser dada por \[H(t,x)=\begin{cases} \begin{array}{lcc} f((1-x)2t) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.5\\ f((1-x)(-2t+2)) & \mbox{se} & 0.5<t\leq1 \end{array}\end{cases}\]
