Caminhos numa superfície 
Elemento neutro
Quando dizemos que o produto de números reais tem elemento neutro, estamos a dizer que existe um número que multiplicado (à esquerda ou à direita) por qualquer outro não o altera, ou seja, existe um real \(e\) tal que \(e.a=a.e=a\), para todo o \(a\) real. E, no caso do produto habitual, sabemos que \(e=1\).
No produto de caminhos (nas classes de homotopia) a verificação a fazer é análoga: ver que existem classes de caminhos - os caminhos constantes - que quando multiplicados - adequadamente! - à esquerda ou à direita por um caminho dão origem a um caminho homotópico ao inicial.
Mais formalmente, para cada ponto da superfície, o caminho constante igual a esse ponto é, respectivamente, elemento neutro à esquerda e à direita para os caminhos que começam nesse ponto e para aqueles que aí terminam. Assim, se \(f\) de \([0,1]\) em \(S\) vai de \(A\) para \(A'\), e \(e\) e \(e'\) são os caminhos de valores constantes \(A\) e \(A'\), \(e.f\) e \(f.e'\) são homotópicos a \(f\).
Tendo em conta a descrição da operação em caminhos percorridos durante uma hora, os produtos acima vão diferir no tempo e velocidades com que se percorre cada trilho.
No caso de \(e.f\):
Corresponde a percorrer \(e\) na primeira meia hora e \(f\) na última. Sendo \(e\) um caminho constante (igual ao valor inicial de \(f\)), isto significa ficar parado no ponto de partida durante meia hora e depois correr o trilho de \(f\) (dobrando a velocidade do caminho inicial).
Formalmente, \(g_{1}=e.f\) de \([0,1]\) em \(S\) pode ser definida por:\[g_{1}(t)=\begin{cases} \begin{array}{lcc} f(0) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.5\\ f(2t-1) & \mbox{se} & 0.5<t\leq1 \end{array}\end{cases}\]
No caso de \(f.e'\):
Corresponde a percorrer \(f\) na primeira meia hora e \(e'\) na última. Sendo \(e'\) um caminho constante (igual ao valor final de \(f\)), isto significa correr a totalidade do trilho de \(f\) (dobrando a velocidade do caminho inicial) na primeira meia hora e depois ficar parado no ponto de chegada durante a meia hora que resta.
Formalmente, \(g_{2}=f.e'\) de \([0,1]\) em \(S\) pode ser definida por:\[g_{2}(t)=\begin{cases} \begin{array}{lcc} f(2t) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.5\\ f(1) & \mbox{se} & 0.5<t\leq1 \end{array}\end{cases}\]
Portanto, os caminhos produto são diferentes entre si e são diferentes de \(f\)! No entanto, verifica-se que são todos homotópicos, bastando uma variação contínua das velocidades de percurso (ou da coloração dos elásticos).
Formalmente, uma homotopia \(H\) de \([0,1]\times[0,1]\) em \(S\) (entre \(g_{2}\) e \(f\)) pode ser dada por: \[H(t,x)=\begin{cases} \begin{array}{lcc} f((1-x)2t+xt) & \mbox{se} & 0\leq t\leq0.5\\ f((1-x)+xt) & \mbox{se} & 0.5<t\leq1 \end{array}\end{cases}\]
