ATRACTOR

Habitualmente, uma curva no plano é representada por uma equação envolvendo duas coordenadas, \(x\) e \(y\), e é depois possível descrever a sua curvatura através de uma fórmula. No entanto, alternativamente, também é possível, como vimos, tomar a curvatura como uma noção primitiva e exprimir a curva de um modo mais natural. A ideia reside em deixar de falar das posições relativas dos pontos da curva relativamente a um referencial \(OXY\) e em pensar na curva marcada por unidades de "comprimento de arco", onde comprimento de arco é uma distância medida ao longo da curva (como se esta fosse esticada rectilineamente ao logo de uma régua). Será então natural descrever a curva por uma equação \(k=\gamma(s)\) que dê a curvatura \(k\) em função do comprimento de arco \(s\).

Exemplos

Observámos também como fazer isso no caso tridimensional, esquecendo novamente o referencial fixo \(OXYZ\), substituindo-o por um referencial móvel, o Triedro de Frenet \(\left\{ T,N,B\right\} \), que vai variando ao longo da curva, adaptando-se a esta.

É possível definir, em cada ponto da curva, duas quantidades numéricas, chamadas curvatura e torção, que permitem descrever totalmente a curva. A curvatura de uma curva no espaço é, essencialmente, a mesma do caso planar: mede a tendência da curva em se afastar de uma recta. A torção mede a tendência da curva em se afastar de um plano. Pensando no Triedro de Frenet a mover-se ao longo da curva, a curvatura mede a taxa de variação da tangente, \(T\), relativamente a uma direcção fixa (ou seja, é dada pelo módulo da derivada de \(T\)) enquanto a torção mede a taxa de variação da binormal, \(B\).

Tal como no caso planar, uma curva espacial pode ser especificada totalmente através das funções curvatura e torção (como funções do seu comprimento de arco). Estas equações têm a forma \(k=\gamma(s)\) e \(\tau=\delta(s)\). Como vimos, a forma e tamanho da curva ficam univocamente determinados por estas equações.

Exemplos