ATRACTOR

Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos números é a aritmética modular, que envolve o conceito de congruência. Uma congruência é a relação entre dois números que, divididos por um terceiro - chamado módulo de congruência - deixam o mesmo resto. Por exemplo, \(32\) é congruente com \(8\) módulo \(12\) \((32 = 2 \times 12 + 8\) e \(8 = 0 \times 12 + 8)\). Esta relação representa-se do seguinte modo: \[32=8\,(\mbox{mod }12)\]

Acontece que frequentemente preferirmos ignorar os múltiplos de um dado número quando fazemos cálculos. Pense nos dias da semana ou nas horas do dia; no primeiro caso ignoramos múltiplos de \(7\), no segundo, múltiplos de \(24\) (ou, muitas vezes, múltiplos de \(12\)). São exemplos de "aritmética módulo \(n\)".

A "aritmética do relógio" é um exemplo de aritmética módulo \(n\), neste caso \(12\). Se forem 7:00 horas e passarem 10 horas, então serão 5:00 \((7 + 10\) é igual a \(5\) módulo \(12)\). Se passarem 89 horas, serão 0:00 \((7 + 89\) é igual a \(0\) módulo \(12).\) Olhamos para o tempo entre os múltiplos de \(12.\) A aritmética modular é a formalização matemática deste tipo de raciocínios.

Para ver se já percebeu a "aritmética do relógio", ou seja, as congruências módulo doze, veja o seguinte relógio:

Para saber um pouco mais sobre a aritmética modular...

São várias as operações que se podem efectuar com estes números, sendo de salientar a adição e a multiplicação.