Sistemas de Identificação com Algarismos de Controlo 
Sistemas de identificação modulares: sua eficácia na detecção de erros
Em geral, nos sistemas de detecção de erros que utilizam a aritmética modular, o algarismo de controlo, \(C\), de um determinado número \(x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n}\) é calculado resolvendo a equação \[p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+...+p_{n}x_{n}+C=0\;(\mbox{mod }k).\]
Nos exemplos apresentados neste módulo, tem-se
| Bilhete de Identidade e NIF | \[\{p_{1},p_{2},...,p_{8}\} \rightarrow \{9, 8, 7, ..., 2\}\] | \(k=11\) |
| Código de Barras | \[\{p_{1},p_{2},...,p_{8}\} \rightarrow \{1,3,1,3,1, ..., 3\}\] | \(k= 10\) |
| Notas de Euro | \[\{p_{L},p_{1},...,p_{10}\} \rightarrow \{1,1, ..., 1\}\] | \(k= 9\) |
| NIB | \[\{p_{1},p_{2},...,p_{19}\} \rightarrow \{73, 17, 89, 38, 62, 45, 53, 15, 50, 5, 49, 34, 81, 76, 27, 90, 9, 30, 3\}\] | \(k= 97\) |
Para os sistemas de identificação deste tipo verificam-se os seguintes resultados:
1) o sistema
detecta o erro singular \(x_{1}...x_{i}...x_{n} \rightarrow x_{1}...x_{j}...x_{n}\) se e só
se \(\mbox{mdc}(p_{i},k)=1\);
2) o sistema detecta a transposição \(x_{1}...x_{i}...x_{j}...x_{n} \rightarrow x_{1}...x_{j}...x_{i}...x_{n}\)
se e só se \(\mbox{mdc}(p_{i}-p_{j},k)=1\).
(Demonstrações)
Para mais informação, consultar: [4] J. PICADO, A álgebra dos sistemas de identificação, Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática 44(2001) 39-73.
O caso do Cartão Visa é um pouco diferente, pois não se trata apenas de multiplicar o algarismo \(x_{i}\) pelo peso \(p_{i}\), mas sim de aplicar uma determinada função peso a cada um dos algarismos do número considerado. Para mais pormenores consultar novamente [4].
Um sistema de identificação diferente destes é o sistema de Verhoeff, baseado na Teoria dos Grupos.
