ATRACTOR

O objectivo da maioria dos algarismos de controlo é detectar os erros cometidos na transcrição de números formados por muitos algarismos. Quais as características que um sistema destes deverá ter? Deverá detectar todos os erros singulares (engano em apenas um algarismo) e todas as transposições de algarismos adjacentes (1), uma vez que cerca de 90% dos erros cometidos são de um destes dois tipos. Por outro lado, por uma questão de facilidade na sua utilização, é muitas vezes preferível ter sistemas destes que usem somente os algarismos \(0, 1, 2,..., 9\), sem a necessidade de símbolos extra e que, por uma questão de economia, trabalhem somente com um algarismo de controlo (2).

A maioria dos sistemas implementados (Código de Barras, Bilhete de Identidade, NIB, Cartão Visa, Notas de Euro,...) têm como base a Aritmética Modular, mas nenhum deles tem simultaneamente as propriedades acima indicadas. O sistema do NIB precisa de um número de controlo formado por mais do que um algarismo, o sistema do Código de Barras e do Cartão Visa não detectam todas as transposições consecutivas, o do BI (se fosse implementado correctamente) precisaria de \(11\) caracteres (o que implica que um dos algarismos de controlo teria de ser um símbolo não um "verdadeiro" algarismo) e o sistema das notas de Euro nem sequer detecta todos os erros singulares. De facto, qualquer sistema de controlo que seja baseado na Aritmética Modular não pode satisfazer simultaneamente as propridades (1) e (2).

Em 1969, o matemático holandês J. Verhoeff, encontrou um sistema de controlo "óptimo", no sentido em que verifica, simultaneamente, as propriedades (1) e (2). A base do sistema criado por Verhoeff é a Teoria dos Grupos, que envolve conceitos matemáticos "mais sofisticados" que os utilizados nos sistemas baseados na Aritmética Modular.

Vejamos um exemplo de um destes sistemas "óptimos" (que podia, por exemplo, substituir o sistema actualmente implementado no Bilhete de Identidade), baseado nas ideias de Verhoeff e na Teoria dos Grupos.