Comparando dois problemas geométricos 
Prova da existência de uma inversão
Figura 15
Note que há uma grande variedade de inversões que produzem o resultado desejado. Imporemos algumas condições suplementares que restringem as inversões a considerar.
Se \(A\) e \(B\) são os centros das duas circunferências \(a\) e \(b\), vamos escolher uma inversão cujo centro esteja na recta \(AB\). Poderemos ainda conseguir que envie \(b\) sobre si própria: bastará que a circunferência de inversão \(c_{I}\) corte \(b\) ortogonalmente. E, para tal, se \(I\) designa o ponto que queremos para centro da inversão, há simplesmente que construir a semi-circunferência \(s\) de diâmetro \(IB\): a circunferência \(c_{I}\) de centro \(I\), passando pelo ponto \(P\) de intersecção de \(s\) com \(b\), corta \(b\) ortogonalmente em \(P\). Quando \(I\) se desloca na recta, a inversa \(a'\) de \(a\), representada a ponteado na figura, desloca-se e o seu centro \(C_{a'}\) também. Vejamos o que sucede quando \(I\) percorre o segmento \(AA_{1}\) (aberto à direita). Se \(I=A\), \(C_{a'} (=A)\) está francamente à esquerda de \(B\); e, quando \(I\) tende para \(A_{1}\), o centro \(C_{a'}\) tende para infinito à direita de \(B\). Como a função é definida e contínua naquele intervalo, há nele uma posição de \(I\) para a qual a inversa \(a'\) de \(a\) tem centro \(C_{a'}= B\), isto é, essa inversão envia as duas circunferências dadas em duas circunferências \(a'\) e \(b'(=b)\) concêntricas (com centro \(B\)). O raciocínio funciona de modo semelhante no caso de \(b\) ser interior a \(a\).
