ATRACTOR

Convir-nos-ia uma transformação geométrica que enviasse circunferências em circunferências e conservasse a propriedade de tangência (portanto, enviando anéis de circunferências tangentes em anéis de circunferências tangentes), mas não conservasse (necessariamente) a propriedade "ser concêntrico". Ora, uma tal transformação existe: uma inversão⁴, cujo centro não pertença a nenhuma das circunferências.

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Assim, por exemplo, os anéis de circunferências concêntricas representados nas figuras 11-12 e 13-14 são enviados por inversões em anéis de circunferências não concêntricas representados nas figuras correspondentes. Num caso ambos os anéis fecham; noutro ambos não fecham. Mas o que é inesperado é que, naqueles dois exemplos de anéis de circunferências não concêntricas, tal como nos das circunferências concêntricas, o anel fechar ou não fechar não depende da posição da primeira circunferência do anel. Podemos acrescentar: aquele comportamento - "o anel fechar ou não" não depender da primeira circunferência escolhida - é não só o dos pares de circunferências concêntricas, como o de todos os pares de circunferências provindo por uma inversão de um par de circunferências concêntricas! Então, agora a questão interessante é a de saber se, dado qualquer par de circunferências disjuntas, ele poderá ser obtido por uma inversão de um par de circunferências concêntricas. Se a resposta for afirmativa, teremos concluído que o comportamento, para qualquer par de circunferências disjuntas, é o mesmo que para os pares de circunferências concêntricas: haverá pares para os quais nenhum anel fecha (é a situação genérica) e pares excepcionais⁵ para os quais todos os anéis fecham⁶! Neste ponto, sugerimos aos leitores com alguma experiência em trabalhar com inversões que tentem directamente provar que qualquer par de circunferências disjuntas provém de um par de circunferências concêntricas, o que é o mesmo que provar que dado qualquer par de circunferências disjuntas, há uma inversão que o transforma num par de circunferências concêntricas. Quem não quiser seguir a sugestão poderá encontrar adiante uma prova (ilustrada na figura 15) não construtiva da existência de uma tal inversão.

Usando esse resultado, concluímos que a situação, para qualquer par de circunferências, é idêntica à já descrita para o caso das circunferências concêntricas. Todos os anéis fecham com o mesmo número de circunferências ou nenhum fecha:

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