Circunferências concêntricas

Quando as circunferências são concêntricas, é fácil concluir que "os anéis fecharem ou não" depende apenas da razão dos raios. Trigonometria elementar permite encontrar as razões correspondentes aos anéis que fecham. A figura 10 mostra valores aproximados das primeiras 25, obtidos usando a fórmula3 \[\mbox{razao dos raios }=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+1}{1-\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}.\] Portanto, já temos uma resposta ao problema, tal como foi proposto: nem sempre há um anel que feche e basta escolher como contraexemplo o par de circunferências concêntricas representado nas figuras 6 e 7. O que fizemos até agora sugere outra questão interessante: haverá algum par de circunferências iniciais, em que o anel feche para certa escolha da primeira circunferência do anel e não feche para outra escolha (da primeira circunferência)? Esta é uma questão que não parece fácil de abordar. Notemos, porém, que, pelo que escrevemos anteriormente, a haver um tal par de circunferências iniciais, elas serão necessariamente não concêntricas. Seria óptimo se pudéssemos reduzir o caso geral ao caso particular das circunferências concêntricas, em que a resposta é conhecida. Como tentar?

Anéis fechados
Nº de circ. Razão de raios
3 \(13,92820323\)
4 \(5,828427125\)
5 \(3,851839996\)
6 3
7 \(2,532843231\)
8 \(2,239828809\)
9 \(2,039606729\)
10 \(1,894427191\)
11 \(1,784478148\)
12 \(1,698396372\)
13 \(1,629211496\)
14 \(1,572416528\)
15 \(1,524970987\)
16 \(1,484750842\)
17 \(1,450228262\)
18 \(1,420276625\)
19 \(1,394047222\)
20 \(1,370888706\)
21 \(1,350292994\)
22 \(1,331857993\)
23 \(1,315261385\)
24 \(1,300241804\)
25 \(1,286585105\)

Figura 10


3 Vimos a fórmula para anéis que fechem com \(n\) círculos ao fim de uma volta. Se quisermos anéis com \(p\) círculos que só fechem ao fim de \(q\) voltas (\(p\) e \(q\) primos entre si), a expressão correspondente para a razão entre os raios será \[\frac{\sin\left(\frac{\pi}{p/q}\right)+1}{1-\sin\left(\frac{\pi}{p/q}\right)}=\frac{\sin\left(\frac{q \pi}{p}\right)+1}{1-\sin\left(\frac{q \pi}{p}\right)}.\]

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