Comparando dois problemas geométricos 
Circunferências concêntricas
Quando as circunferências são concêntricas, é fácil concluir que "os anéis fecharem ou não" depende apenas da razão dos raios. Trigonometria elementar permite encontrar as razões correspondentes aos anéis que fecham. A figura 10 mostra valores aproximados das primeiras 25, obtidos usando a fórmula3 \[\mbox{razao dos raios }=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+1}{1-\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}.\] Portanto, já temos uma resposta ao problema, tal como foi proposto: nem sempre há um anel que feche e basta escolher como contraexemplo o par de circunferências concêntricas representado nas figuras 6 e 7. O que fizemos até agora sugere outra questão interessante: haverá algum par de circunferências iniciais, em que o anel feche para certa escolha da primeira circunferência do anel e não feche para outra escolha (da primeira circunferência)? Esta é uma questão que não parece fácil de abordar. Notemos, porém, que, pelo que escrevemos anteriormente, a haver um tal par de circunferências iniciais, elas serão necessariamente não concêntricas. Seria óptimo se pudéssemos reduzir o caso geral ao caso particular das circunferências concêntricas, em que a resposta é conhecida. Como tentar?
| Anéis fechados | |
|---|---|
| Nº de circ. | Razão de raios |
| 3 | \(13,92820323\) |
| 4 | \(5,828427125\) |
| 5 | \(3,851839996\) |
| 6 | 3 |
| 7 | \(2,532843231\) |
| 8 | \(2,239828809\) |
| 9 | \(2,039606729\) |
| 10 | \(1,894427191\) |
| 11 | \(1,784478148\) |
| 12 | \(1,698396372\) |
| 13 | \(1,629211496\) |
| 14 | \(1,572416528\) |
| 15 | \(1,524970987\) |
| 16 | \(1,484750842\) |
| 17 | \(1,450228262\) |
| 18 | \(1,420276625\) |
| 19 | \(1,394047222\) |
| 20 | \(1,370888706\) |
| 21 | \(1,350292994\) |
| 22 | \(1,331857993\) |
| 23 | \(1,315261385\) |
| 24 | \(1,300241804\) |
| 25 | \(1,286585105\) |
Figura 10
