O triângulo de Sierpinski e as Torres de Hanói 
Modelo dos baricentros e triângulo de Sierpinski
No modelo concreto dos baricentros de todas as posições possíveis, que definimos acima, há também um fenómeno de auto-semelhança e um conjunto limite, mas a sua definição requer algum cuidado que não era necessário no caso do modelo da figura 8, porque nele, quando o número de discos aumenta, não se muda a parte já existente, apenas se acrescentam novos paralelepípedos mais pequenos, ao passo que no modelo dos baricentros, exceptuando os vértices do triângulo grande, todos os baricentros vão sempre mudando. Isto tem a ver com o facto de a massa total dos discos ser variável e inferior a \(1\), o que faz com que, por exemplo na figura 6, a coordenada baricêntrica (constante) referente à haste esquerda, de todos os pontos do segmento azul mais grosso seja \(\frac{(\frac{1}{2})}{(\frac{7}{8})}=\frac{4}{7}\) no caso do diagrama da esquerda, \(\frac{(\frac{1}{2})}{(\frac{15}{16})}=\frac{8}{15}\) no do centro e \(\frac{(\frac{1}{2})}{(\frac{31}{32})}=\frac{16}{31}\) no da direita. Essa coordenada é sempre maior do que \(\frac{1}{2}\), como vimos que deveria ser para termos um bom modelo e tende para \(\frac{1}{2}\) quando o número \(n\) de discos tende para infinito. E algo de análogo se passa para os restantes segmentos.
Fig. 9
Não admira, pois, que o triângulo de Sierpinski tenha alguma relação com o limite daqueles diagramas, como sugere, já para \(n=9\), o diagrama representado na figura 9, incluindo os baricentros e os segmentos correspondentes aos movimentos dos discos. A figura 10 representa todos os baricentros, sem movimentos, para \(n=10\).
Fig. 10
