ATRACTOR

Vejamos então o que se passa num exemplo concreto satisfazendo a esta condição: tomemos \(n\) discos com massas \(m_{i}=\frac{1}{2^{i}}\), para \(i=1,2,…,n\). A soma das massas dos discos todos é \(M_{n}=1-\frac{1}{2^{n}}\) e, para cada \(i<n\), a soma das massas dos discos de índices maiores que \(i\), i.e., de massas menores do que a do de índice \(i\), é \((1-\frac{1}{2^{n}})-(1-\frac{1}{2^{i}}) = (\frac{1}{2^{i}}).(1-\frac{1}{2^{(n-i)}}) < \frac{1}{2^{i}}=m_{i}\). Portanto, estas massas dão origem a um bom modelo de baricentros, uma vez que a massa de cada disco é maior que a soma das massas dos discos mais pequenos.

Fig. 6

A figura 6 mostra três diagramas, obtidos para tabuleiros com três, quatro e cinco discos, respectivamente. Todas as posições possíveis dos discos estão representadas pelos baricentros (das massas nas três hastes) e todas as jogadas também, pelos segmentos correspondentes aos movimentos permitidos dos discos, segmentos esses com a cor do disco movido e unindo o baricentro antes do movimento, ao baricentro depois do movimento. Em cada diagrama, os segmentos mais grossos correspondem à solução óptima, aquela que envolve menor número de movimentos para levar todos os discos da haste inferior para a da direita. Essa linha grossa dá uma indicação clara sobre quais os discos a mover e em que direcção; por exemplo, olhando para o diagrama da esquerda, correspondente a três discos, vê-se que há que começar por deslocar o disco verde da haste de baixo para a da direita, depois o vermelho da de baixo para a da esquerda, novamente o verde da da direita para a da esquerda, o azul da de baixo para a da direita, etc. Como exercício, o leitor poderá procurar no diagrama do meio o caminho mais curto para levar os quatro discos da haste esquerda para a direita.

Em cada diagrama da figura 6, a parte da curva grossa antes do segmento azul, tem exactamente a mesma forma que a parte após esse segmento e, em particular, o número de jogadas antes desse movimento do disco azul é o mesmo que o das jogadas posteriores. Tal tem a ver com o facto de que no jogo, como é sabido, quando chega a ocasião de deslocar o disco maior está-se exactamente a meio do jogo: antes mudaram-se os discos mais pequenos para a haste da esquerda e em seguida, por uma sucessão análoga de movimentos, mudam-se esses mesmos discos dessa haste para a direita. Se, para um \(n, f(n)\) designar o número mínimo de jogadas para o transporte dos discos, será, pois \(f(n)=2f(n-1)+1\).

Claro que este comportamento se manifesta em qualquer modelo isomorfo (ver [1] para o caso do Jogo das Lâmpadas).

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