Podemos garantir que o ponto a maior distância de O está na face superior?

Consideremos as 3 faces não contíguas ao ponto O - face S (superior), face L (lateral) e face T (de trás); o ponto a maior distância de O está necessariamente numa dessas faces.

Basta-nos agora conseguir provar que qualquer ponto das faces T e L está a menor distância de O do que um determinado ponto da face S (sem que necessariamente esse ponto seja o ponto da caixa a maior distância de O).

Se tomarmos o ponto V (vértice da caixa oposto a O), facilmente provamos que qualquer ponto de T e de L está mais perto de O do que V:

1. Vamos começar por calcular a distância de V a O, usando o facto desta distância ser dada por uma das trajectórias t1, t2, t3 e t4.

Observando a figura, vemos que

comprimento(t1) =

comprimento(t2) =

comprimento(t3) =

comprimento(t4) =

Relembrando que c b a , podemos concluir que

compr(t2) = compr(t4) compr(t1) compr(t3)

Como nos interessa o valor mínimo destes comprimentos, concluímos que a distância de V a O é sempre dada pelas trajectórias t2 e t4.

2. Vamos agora ver que qualquer ponto de T e de L está mais perto de O do que V.

Ao considerarmos uma circunferência de centro O e raio igual ao comprimento de t2 (ou de t4) (=distância de V), vemos que esta circunferência cobre por completo as faces L e T, o que nos permite concluir que quaisquer pontos destas faces estão a uma distância de O inferior à de V. Mesmo que, recorrendo a outras planificações, determinássemos trajectórias com comprimentos diferentes, ocorreria uma de duas situações:

- ou o comprimento dessas trajectórias seria menor, o que reafirmava a ideia de que estes pontos estão a uma distância de O menor do que a de V.

- ou esses comprimentos seriam ainda maiores, o que os invalidava na procura da distância de cada ponto destas faces (L e T) a O, uma vez que esta distância foi definida como sendo o menor comprimento possível.

Embora o vértice V possa não ser o ponto da caixa a maior distância de O, como os pontos das faces T e L estão a menor distância do que V, a existir um ponto a maior distância do que V, este terá que pertencer à face superior da caixa, face S.