A QUINTA DIMENSÃO

Analogamente ao que foi feito anteriormente, estudaremos o problema de saber qual o número mínimo de apostas que garante pelo menos o 2º prémio em jogos de totobola com 5 partidas num espaço de dimensão 5.

O conjunto das \(3^5=243\) chaves possíveis corresponde ao conjunto dos vértices, pontos médios das arestas, centros das faces de dimensão 2 (quadrados), centros das faces de dimensão 3 (cubos), centros das faces de dimensão 4 (hipercubos) e centro de um 5-cubo.

Para uma melhor visualização, optou-se por uma representação no plano dos 243 pontos, que corresponde à representação planar dos pontos de 3 hipercubos, ou seja, foi acrescentada uma 5ª coordenada num outro eixo que indica em que hipercubo está o ponto.

Na figura, encontra-se assinalado a branco o ponto de coordenadas (0,0,0,0,0).

Para n=5, cada ponto cobre, no sentido de garantir pelo menos 4 resultados certos, para além de si próprio, todos os pontos que dele diferem numa única coordenada:

  • cobre 5 pontos no plano onde reside e,
  • para cada uma das direcções dos outros 3 eixos, cobre mais 2 pontos (que corresponde a variar a coordenada desse eixo de 2 formas diferentes).

Neste caso, pode-se obter uma cobertura de todos os resultados à custa de uma cobertura de um jogo com 4 partidas, fazendo uma aposta tripla no 5º jogo. Como o número mínimo de chaves de uma cobertura para um jogo com 4 partidas é 9, a cobertura assim construída conduz a uma cobertura com 27 chaves. Em 1967, H. J. L. Kamps e J. H. van Lint mostraram que 27 é, de facto, o número mínimo de apostas que garantem o 2º prémio num jogo com 5 partidas. [3]

Mostra-se, recorrendo a códigos de Hamming (códigos correctores de erros introduzidos por Richard Hamming, em 1947-48) que se o número de partidas n de um jogo de totobola for um número da forma \(\frac{3^m-1}{2}\), para algum \(m\in\mathbb{N}\), então o número mínimo de apostas que garantem n-1 resultados correctos é \(3^{n-m}\). Em particular, a solução é conhecida para os jogos cujo n.º de partidas é 4 e 13. [4]