O método de indução

Matemática sem palavras (*)

O método de indução

Depois de descoberta uma identidade matemática para alguns números naturais (como nos exemplos que apresentámos nestas páginas), um bom método para confirmar (demonstrar) a veracidade dessa identidade para todos os números naturais é o chamado método de indução matemática.

Suponhamos, por exemplo, que pretendemos averiguar da veracidade da identidade

\[1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}\]

para todo o número natural \(n\).

Designemos esta identidade por \(P(n)\). Devemos começar por demonstrar a veracidade de \(P(1)\), o que neste caso é óbvio: \(1=1^{2}\).

De seguida, supomos que a identidade é válida para um natural \(n-1\):

\(\;\;\;\;\;\;\,1+3+5+...+(2(n-1)-1)=(n-1)^{2} \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow1+3+5+...+(2n-3)=(n-1)^{2}\)

Bastará então mostrar que \(P(n)\) também é válida. No exemplo que estamos a considerar tal acontece, uma vez que

\(\;\;\;1+3+5+...+(2n-1)=\\ =1+3+5+...+(2n-3)+(2n-1)=\\ =(n-1)^{2}+(2n-1)=\\ =n^{2}-2n+1+2n-1=\\=n^{2}\)

onde a segunda igualdade é justificada pela veracidade de \(P(n-1)\).

Isto significa que, sendo \(P(1)\) verdadeira, também \(P(2)\) é verdadeira. Usando este mesmo argumento sucessivamente (para \(n=3,4,5,...\)), garantimos que \(P(n)\) é verdadeira para todo o valor natural \(n\).

\[\begin{array}{ccccccccc} P_{(1)} & \Longrightarrow & P_{(2)} & \Longrightarrow & P_{(3)} & \Longrightarrow & P_{(4)} & \Longrightarrow & ...\\ & (n=2) & & (n=3) & & (n=4) & & (n=5) \end{array}\]

Resumindo, o método de indução segue os seguintes passos:

1. Mostrar a veracidade de \(P(1);\)

2. Mostrar que \(P_{(n-1)}\Longrightarrow P_{(n)}\) para qualquer natural \(n\).

Vejamos agora um outro exemplo:

\[Q(n):1+8+16+24+...+8n=(2n+1)^{2}\]