ATRACTOR

Se \(a+bi\sqrt{5}\) é divisor de \(6\) em \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\), existe \(c+di\sqrt{5}\) tal que \(\left(a+bi\sqrt{5}\right)\left(c+di\sqrt{5}\right)=6\).

Então \[\overline{\left(a+bi\sqrt{5}\right)}\overline{\left(c+di\sqrt{5}\right)}=\overline{6},\] portanto \[\left(a-bi\sqrt{5}\right)\left(c-di\sqrt{5}\right)=6.\]

De\[\left(a+bi\sqrt{5}\right)\left(c+di\sqrt{5}\right)=6\] e \[\left(a-bi\sqrt{5}\right)\left(c-di\sqrt{5}\right)=6\]vem \[\begin{array}{rcc} \left(a+bi\sqrt{5}\right)\left(a-bi\sqrt{5}\right)\left(c+di\sqrt{5}\right)\left(c-di\sqrt{5}\right) & = & 36\\ \left(a^{2}+5b^{2}\right)\left(c^{2}+5d^{2}\right) & = & 36 \end{array}\]

Como \(a^{2}+5b^{2}\) e \(c^{2}+5d^{2}\) são inteiros, \(a^{2}+5b^{2}\) é \(1,2,3,4,6,9,12,18\) ou \(36\).

Como \(a\) e \(b\) são inteiros é fácil de ver que \(2,3,12,18\) ficam excluídos. Restam os casos \(1,4,6,9,36\).

• \(a^{2}+5b^{2}=1\) ; só se pode ter \(a=\pm1\), \(b=0\)

• \(a^{2}+5b^{2}=4\); só se pode ter \(a=\pm2\), \(b=0\)

• \(a^{2}+5b^{2}=6\); só se pode ter \(a=\pm1\), \(b=\pm1\)

• \(a^{2}+5b^{2}=9\); só se pode ter \(a=\pm2\), \(b=\pm1\) ou \(a=\pm3\), \(b=0\)

• \(a^{2}+5b^{2}=36\); só se pode ter \(a=\pm6\), \(b=0\) ou \(a=\pm4\), \(b=\pm2\)

Então os únicos divisores possíveis de \(6\) são \[\begin{array}{c} 1,-1,2,-2,1+i\sqrt{5},1-i\sqrt{5},-1+i\sqrt{5},-1-i\sqrt{5},2+i\sqrt{5},2-i\sqrt{5},\\ -2+i\sqrt{5},-2-i\sqrt{5},3,-3,6,-6,4+2i\sqrt{5},4-2i\sqrt{5},-4+2i\sqrt{5},-4-2i\sqrt{5} \end{array}\]

Verificando-se cada caso vê-se que os divisores de \(6\) são \(\pm1,\pm2,\pm\left(1+i\sqrt{5}\right),\pm\left(1-i\sqrt{5}\right)\)

(Por exemplo \(1+i\sqrt{5}\) é divisor de \(6\) porque \(\frac{6}{1+i\sqrt{5}}=1-i\sqrt{5}\in\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\);

\(2+i\sqrt{5}\) não é divisor de \(6\) porque \(\frac{6}{2+i\sqrt{5}}=\frac{6\left(2-i\sqrt{5}\right)}{9}=\frac{12-6i\sqrt{5}}{9}\notin\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\);)

Quais são os divisores de \(2+2i\sqrt{5}\) em \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\)?

Se \(a+bi\sqrt{5}\)é divisor de \(2+2i\sqrt{5}\)em \(\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\), existe \(c+di\sqrt{5}\) tal que \(\left(a+bi\sqrt{5}\right)\left(c+di\sqrt{5}\right)=2+2i\sqrt{5}\)

Então \[\overline{\left(a+bi\sqrt{5}\right)}\overline{\left(c+di\sqrt{5}\right)}=\overline{2+2i\sqrt{5}},\] portanto \[\left(a-bi\sqrt{5}\right)\left(c-di\sqrt{5}\right)=2-2i\sqrt{5}\]

De \[\left(a+bi\sqrt{5}\right)\left(c+di\sqrt{5}\right)=2+2i\sqrt{5}\] e \[\left(a-bi\sqrt{5}\right)\left(c-di\sqrt{5}\right)=2-2i\sqrt{5}\] vem \[\begin{array}{rcc} \left(a+bi\sqrt{5}\right)\left(a-bi\sqrt{5}\right)\left(c+di\sqrt{5}\right)\left(c-di\sqrt{5}\right) & = & 24\\ \left(a^{2}+5b^{2}\right)\left(c^{2}+5d^{2}\right) & = & 24 \end{array}\]

Como \(a^{2}+5b^{2}\) e \(c^{2}+5d^{2}\) são inteiros, \(a^{2}+5b^{2}\) é \(1,2,3,4,6,8,12,24\) ou \(36\).

Como \(a\) e \(b\) são inteiros é fácil de ver que \(2,3,12\) ficam excluídos. Restam os casos \(1,4,6,24\).

• \(a^{2}+5b^{2}=1\) ; só se pode ter \(a=\pm1\), \(b=0\)

• \(a^{2}+5b^{2}=4\) ; só se pode ter \(a=\pm2\), \(b=0\)

• \(a^{2}+5b^{2}=6\) ; só se pode ter \(a=\pm1\), \(b=\pm1\)

• \(a^{2}+5b^{2}=9\) ; só se pode ter \(a=\pm2\), \(b=\pm1\) ou \(a=\pm3\), \(b=0\)

• \(a^{2}+5b^{2}=24\) ; só se pode ter \(a=\pm2\), \(b=\pm2\)

• \(a^{2}+5b^{2}=36\) ; só se pode ter \(a=\pm6\), \(b=0\) ou \(a=\pm4\), \(b=\pm2\)

Então os únicos divisores possíveis de \(2+2i\sqrt{5}\) são: \[\begin{array}{c} 1,-1,2,-2,1+i\sqrt{5},1-i\sqrt{5},-1+i\sqrt{5},-1-i\sqrt{5},\\ 2+i\sqrt{5},2-i\sqrt{5},-2+i\sqrt{5},-2-i\sqrt{5} \end{array}\]

Verificando-se cada caso vê-se que os divisores de \(2+2i\sqrt{5}\) são \(\pm1,\pm2,\pm\left(1+i\sqrt{5}\right),\pm\left(2+2i\sqrt{5}\right)\)

(Por exemplo \(1+i\sqrt{5}\) é divisor de \(2+2i\sqrt{5}\) porque \(\frac{2+2i\sqrt{5}}{1+i\sqrt{5}}=2\in\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\);

\(1-i\sqrt{5}\) não é divisor de \(2+2i\sqrt{5}\) porque \(\frac{2+2i\sqrt{5}}{1-i\sqrt{5}}=\frac{\left(2+2i\sqrt{5}\right)\left(1+i\sqrt{5}\right)}{6}=\frac{-8+4i\sqrt{5}}{6}\notin\mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right]\); )