ATRACTOR

No caso dos polinómios (com coeficientes racionais, reais ou complexos), é usado o grau para os comparar. Para quaisquer polinómios \(P\), \(S\), existem polinómios \(Q\) e \(R\) tais que: \[P=SQ+R\] e \(R\) é o polinómio nulo ou então \(grau(R)<grau(S)\), e temos um algoritmo de divisão semelhante ao dos números inteiros.

Exemplos:

1) \(P=5x^{3}+7x^{2}-3x+5\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;S=x^{2}+1\)

\( \begin{array}{ll} 5x^3 + 7x^2 - 3x + 5 \hspace{2ex} & \vert\hspace{-0.3ex}\underline{\hspace{1.8ex}x^2+ 1\hspace{0.5ex}}\\ \hspace{-2.1ex}\underline{\hspace{0.3ex}-5x^3 \hspace{6.3ex} -5x\hspace{0.3ex}} & \hspace{1ex} 5x\;\, + 7\hspace{-0.3ex}\\ \hspace{6.3ex} 7x^2 - 8x + 5\\ \hspace{5ex} \underline{\hspace{0.3ex}-7x^2 \hspace{5.4ex} -7\hspace{0.3ex}}\\ \hspace{10.4ex} -\; 8x - 2 \end{array} \)

\(5x^{3}+7x^{2}-3x+5=\left(x^{2}+1\right)\left(5x+7\right)-8x-2\)

Neste caso \(Q=5x+7\) e \(R=-8x-2\)

2) \(P=8x^{4}+2x^{3}-5x^{2}-24x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; S=2x^{2}-3x\)

\( \begin{array}{ll} 8x^{4}+\,2x^{3}-5x^{2}-24x\hspace{2ex} & \vert\hspace{-0.3ex}\underline{\hspace{1.8ex}2x^{2}-3x\hspace{0.5ex}}\\ \hspace{-2.1ex}\underline{\hspace{0.3ex}-8x^{4}+\,12x^{3}\hspace{0.3ex}} & \hspace{1ex}4x^{2}+7x+8\hspace{-0.3ex}\\ \hspace{6.3ex}\,14x^{3}-5x^{2}-24x\\ \hspace{4.3ex}\underline{\hspace{0.3ex}-14x^{3}+21x^{2}\hspace{0.3ex}}\\ \hspace{14.5ex}16x^{2}-24x\\ \hspace{12.5ex}\underline{\hspace{0.3ex}-16x^{2}-24x\hspace{0.3ex}}\\ \hspace{18ex}0 \end{array} \)

\(8x^{4}+2x^{3}-5x^{2}-24x=\left(2x^{2}-3x\right)\left(4x^{2}+7x+8\right)\)

Neste caso \(Q=4x^{2}+7x+8\) e \(R=0\).

Tendo o algoritmo de divisão para os polinómios, podemos agora usar o algoritmo de Euclides para achar "o" máximo divisor comum. Aqui o mdc não é único: suponha que \(D\) é mdc de \( P\) e \(S\); note que se um polinómio é o produto de um número diferente de zero por \(D\), também é mdc de \(P\) e \(S\) (o recíproco também é verdadeiro).

Temos a certeza que o algoritmo acaba ao fim de um certo número de passos porque o grau de cada resto é menor do que o grau do resto anterior (enquanto o resto não é zero), e o grau é um número inteiro maior ou igual a zero.

Os argumentos para concluir que o que se obtém é um máximo divisor comum (máximo no sentido de ser um divisor comum que é múltiplo de todos os outros divisores) são exactamente os mesmos que foram vistos no caso dos números inteiros.

Exemplos

1)\(P=x^{5}+x^{4}+x^{2}-6x-7\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; S=x^{3}+x^{2}-3x-3\)

\(\begin{array}{rcl} x^{5}+x^{4}+x^{2}-6x-7 & = & \left(x^{3}+x^{2}-3x-3\right)+x^{2+3x+2}\\ x^{3}+x^{2}-3x-3 & = & \left(x^{2}+3x+2\right)\left(x-2\right)+x+1\\ x^{2}+3x+2 & = & \left(x+1\right)\left(x+2\right)+0 \end{array}\)

2) \(P=x^{6}-x^{5}-2x^{4}+x^{3}-4x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; S=x^{5}-2x^{4}+x^{2}-2x\)

\(\begin{array}{rcl} x^{6}-x^{5}-2x^{4}+x^{3}-4x & = & \left(x^{5}-2x^{4}+x^{2}-2x\right)\left(x+1\right)+x^{2}-2x\\ x^{5}-2x^{4}+x^{2}-2x & = & \left(x^{2}-2x\right)\left(x^{3}+1\right)+0 \end{array}\)