ATRACTOR

\(\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]\) é o conjunto dos números da forma \(a+b\sqrt{2}\), onde \(a\) e \(b\) são números inteiros. Aqui temos a relação de ordem usual entre números reais, mas não será essa a usada para comparar o resto com o divisor nas divisões. O que será usado, para um número \(a+b\sqrt{2}\), será \(\left|a^{2}-2b^{2}\right|\).

Para qualquer \(a+b\sqrt{2}\), com \(a,b\) inteiros, seja \(v\left(a+b\sqrt{2}\right)=\left|a^{2}-2b^{2}\right|\). Vamos ver que para qualquer \(x,y\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]\), com \(y\neq0\) , existem \(q,r\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]\) tais que \[\left\{ \begin{array}{c} x=yq+r\\ v(r)<v(y) \end{array}\right.\] (a segunda condição é a generalização da condição de o resto ser menor do que o divisor; é importante lembrar que isso não tem nada a ver com o resto ser menor do que o divisor para a ordem usual: por exemplo \(\sqrt{2}<1+\sqrt{2}\) mas \(v\left(\sqrt{2}\right)=2>1=v\left(1+\sqrt{2}\right)\)) .

Dados \(x=a+b\sqrt{2}\) e \(y=c+d\sqrt{2}\), como podemos procurar \(q=q_{1}+q_{2}\sqrt{2}\) e \(r=r_{1}+r_{2}\sqrt{2}\) tais que \(z=wq+r\) e \(v(r)<v(w)\)?

Procurar \(q\) e \(r\) nestas condições equivale a procurar \(q_{1}+q_{2}\sqrt{2}\) e \(r_{1}+r_{2}\sqrt{2}\) tais que \(a+b\sqrt{2}=\left(c+d\sqrt{2}\right)\left(q_{1}+q_{2}\sqrt{2}\right)+r_{1}+r_{2}\sqrt{2}\), o que é o mesmo que: \[\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}-\left(q_{1}+q_{2}\sqrt{2}\right)=\frac{r_{1}+r_{2}\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}},\] ou ainda \[\frac{\left(a+b\sqrt{2}\right)\left(c-d\sqrt{2}\right)}{c^{2}-2d^{2}}-\left(q_{1}+q_{2}\sqrt{2}\right)=\frac{r_{1}+r_{2}\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}},\] o que ainda é o mesmo que: \[\frac{ac-2bd}{c^{2}-2d^{2}}-q_{1}+\left(\frac{bc-ad}{c^{2}-2d^{2}}-q_{2}\right)\sqrt{2}=\frac{r_{1}+r_{2}\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}.\]

Queremos \(q_{1},q_{2},r_{1},r_{2}\) tais que \(v\left(r_{1}+r_{2}\sqrt{2}\right)<v\left(c+d\sqrt{2}\right)\) o que é o mesmo que \[\frac{v\left(r_{1}+r_{2}\sqrt{2}\right)}{v\left(c+d\sqrt{2}\right)}<1\]

Pode-se verificar com algumas contas que, \[\frac{v\left(r_{1}+r_{2}\sqrt{2}\right)}{v\left(c+d\sqrt{2}\right)}=v\left(\frac{r_{1}+r_{2}\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}\right),\] portanto basta que \[v\left(\frac{r_{1}+r_{2}\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}\right)<1.\]

Como \[\begin{array}{ccc} v\left(\frac{r_{1}+r_{2}\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}\right) & = & v\left(\frac{ac-2bd}{c^{2}-2d^{2}}-q_{1}+\left(\frac{bc-ad}{c^{2}-2d^{2}}-q_{2}\right)\sqrt{2}\right)=\\ & = & \left(\frac{ac-2bd}{c^{2}-2d^{2}}-q_{1}\right)^{2}-2\left(\frac{bc-ad}{c^{2}-2d^{2}}-q_{2}\right)^{2} \end{array}\] basta que \[\left(\frac{ac-2bd}{c^{2}-2d^{2}}-q_{1}\right)^{2}+\left(\frac{bc-ad}{c^{2}-2d^{2}}-q_{2}\right)^{2}<1.\]

Ora, \[\frac{ac-2bd}{c^{2}-2d^{2}}\] e \[\frac{bc-ad}{c^{2}-2d^{2}}\] são números racionais; para qualquer número racional, existe um número inteiro a uma distância menor ou igual que \(\frac{1}{2}\) dele, portanto existem \(q_{1}\) e \(q_{2}\) inteiros tais que \[\left|\frac{ac-2bd}{c^{2}-2d^{2}}-q_{1}\right|<\frac{1}{2}\] e \[\left|\frac{bc-ad}{c^{2}-2d^{2}}-q_{2}\right|<\frac{1}{2}.\]

O que acontece se escolhermos \(q_{1}\) e \(q_{2}\) nessas condições e tomarmos \(q=q_{1}+q_{2}\sqrt{2}\) e \(r=a+b\sqrt{2}-\left(c+d\sqrt{2}\right)\left(q_{1}+q_{2}\sqrt{2}\right)\left(=r_{1}+r_{2}\sqrt{2}\right)\)?

Temos \[\begin{array}{ccc} v\left(\frac{r_{1}+r_{2}\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}\right) & = & \left(\frac{ac-2bd}{c^{2}-2d^{2}}-q_{1}\right)^{2}+\left(\frac{bc-ad}{c^{2}-2d^{2}}-q_{2}\right)^{2}\\ & \leq & \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2.\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}<1 \end{array}\]

Exemplo (algoritmo da divisão)

Tendo o algoritmo da divisão em \(\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]\), podemos agora usar o algoritmo de Euclides para achar um máximo divisor comum.

Temos a certeza que o algoritmo acaba ao fim de um certo número de passos porque \(v\left(r_{1}\right)>v\left(r_{2}\right)>v\left(r_{3}\right)>...>0\), enquanto o resto não é zero.

Os argumentos para concluir que o que se obtém é um máximo divisor comum (máximo no sentido de ser um divisor comum que é múltiplo de todos os outros divisores) são exactamente os mesmos que foram vistos no caso dos números inteiros.

Exemplo \((m.d.c.)\)