Não interessa qual é a figura do nó que tentamos colorir. Ou todas as figuras de um nó são 3-coloríveis ou nenhuma é 3-colorível. Para descobrir porque é que isto é assim, tentemos ver o que se passa quando mudamos o diagrama de um nó através dos nossos movimentos simples.

Neste caso continuamos com uma cor de ambos os lados

À direita temos três cores e à esquerda não temos nenhum cruzamento

Mostramos em baixo dois dos numerosos casos que envolvem um terceiro tipo de movimento. Note que somos sempre autorizados a mudar algumas cores num movimento, mas temos de respeitar a regra básica: em cada cruzamento tem de haver ou uma cor ou três cores. Isto pode ser feito para cada movimento. Portanto vemos que uma figura que não é 3-colorível não pode ser um trevo disfarçado.

E quanto a outras maneiras de colorir? É interessante experimentar com mais de 3 cores, do mesmo modo, mas descobriu-se que isto não dá directamente um invariante do nó. Em vez disso tem de se usar um tipo de etiquetagem mais subtil que fornece novos invariantes. Tente experimentar com diversas maneiras de colorir os nós seguintes e outros diagramas deles.

Invariantes