CONCLUSÃO
Habitualmente,
uma curva no plano é representada por uma equação envolvendo
duas coordenadas, x
e y, e
é depois possível descrever a sua curvatura através de
uma fórmula. No entanto, alternativamente,
também é possível, como vimos, tomar a curvatura como
uma noção primitiva e exprimir a curva de um modo mais natural.
A ideia reside em deixar de falar das posições relativas dos
pontos da curva relativamente a um referencial OXY
e em pensar na curva marcada por unidades de "comprimento de arco",
onde comprimento de arco é uma distância medida ao longo da curva
(como se esta fosse esticada rectilineamente ao logo de uma régua).
Será então natural descrever a curva por uma equação
k =
( s ) que dê a curvatura k
em função do comprimento de arco s.
Observámos também como fazer isso no caso tridimensional, esquecendo novamente o referencial fixo OXYZ, substituindo-o por um referencial móvel, o Triedro de Frenet { T, N, B }, que vai variando ao longo da curva, adaptando-se a esta.
É possível definir, em cada ponto da curva, duas quantidades numéricas, chamadas curvatura e torção, que permitem descrever totalmente a curva. A curvatura de uma curva no espaço é, essencialmente, a mesma do caso planar: mede a tendência da curva em se afastar de uma recta. A torção mede a tendência da curva em se afastar de um plano. Pensando no Triedro de Frenet a mover-se ao longo da curva, a curvatura mede a taxa de variação da tangente, T, relativamente a uma direcção fixa (ou seja, é dada pelo módulo da derivada de T) enquanto a torção mede a taxa de variação da binormal, B.
Tal como no caso
planar, uma curva espacial pode ser especificada totalmente através
das funções curvatura e torção (como funções
do seu comprimento de arco). Estas equações têm a forma
k =
( s ) e 
= 
( s ). Como vimos, a forma e tamanho da curva ficam univocamente
determinados por estas equações.