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A constante pi pode ser definida como sendo a razão entre o perímetro e o diâmetro
de uma circunferência
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A primeira utilização do símbolo 
para representar pi deve-se a William Jones
em 1706, sendo depois adoptada por Euler em 1748 a partir do qual se popularizou e
tornou a notação padrão para esta constante.
Pode-se provar que o número pi é irracional e transcendente.
Um número diz-se irracional quando não pode ser representado por uma fracção de dois inteiros e transcendente se não anular nenhuma função polinomial de coeficientes inteiros.
Durante muito tempo os matemáticos acreditaram que todas as grandezas eram
comensuráveis, o que podemos traduzir em linguagem moderna pela afirmação que
todos os números eram racionais. Os gregos demonstraram que a diagonal do
quadrado não era comensurável com o lado do quadrado, o que nós podemos exprimir
em linguagem actual, dizendo que
não pode ser expressa como quociente de dois
inteiros, ou não é racional.
As características rebeldes destes números valeram-lhes o nome de números irracionais.
Os números racionais têm uma expansão decimal finita (regulares) ou infinita periódica (irregulares) .
Como exemplos, temos
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O exemplo que se segue parece contrariar o que acabamos de dizer: o desafio
é descobrir qual o período do número racional representado pela fracção
,
Ao contrário dos números racionais, os irracionais têm uma expansão decimal infinita e não periódica.
Lambert em 1761 e Legendre em 1794 provaram que é irracional.
Em 1882, Lindemann demonstrou que
é transcendente, isto é, não pode ser expresso como raiz
de uma equação algébrica de coeficientes racionais. Resulta
daqui que
nunca poderia ser construído com recurso a uma régua e compasso
(com um número finito de passos). Só o podem números que
não sejam transcendentes e, mesmo assim, dum tipo muito particular.
Uma consequência directa deste facto resulta em que um dos mais famosos problemas geométricos da antiguidade, a quadratura do círculo, não é possível.
Apesar da sua simples definição,
o número
surge em inúmeras relações na matemática, física
e engenharia, em temas bem diferentes dos que envolvem áreas de círculos
ou comprimentos de arco.