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fig.1
fig.2

Nota: se clicar na figura 2, obterá esta figura representada em tamanho maior e tem, por exemplo, a possibilidade de a pôr a "rodar" no espaço (arrastando-a com o rato)..

A figura 1 representa uma (única!) bolinha amarela, uma (única!) bolinha azul e uma (única!) bolinha vermelha num caleidoscópio tridimensional, no qual se consegue ver um cubo. A disposição das imagens reflectidas das bolinhas ajuda-nos a descobrir os ângulos entre dois espelhos do caleidoscópio: temos anéis de quatro bolinhas amarelas que se encontram em correspondência com dois espelhos que formam entre si um ângulo de 90 graus; temos ainda anéis de seis bolinhas azuis, em correspondência com dois espelhos que formam entre si um ângulo de 60 graus; para terminar, temos anéis de oito bolinhas vermelhas, em correspondência com dois espelhos que formam entre si um ângulo de 45 graus.

É possível observarmos os mesmos ângulos se considerarmos a esfera correspondente ao caleidoscópio (ver fig.2); a superfície da esfera é dividida em 48 “triângulos”, todos iguais entre si, e cujos ângulos são de 90, 60 e 45 graus: de facto, existem vértices onde se juntam quatro triângulos (portanto, cada um dos quatro ângulos que aqui se encontram é de 90º=360º/4), vértices onde se juntam seis e outros onde se juntam oito.

No entanto: 90 + 60 + 45 dá 195, e não 180: temos, portanto, um triângulo cuja soma dos ângulos não é 180 graus! Porém, tal não nos deve surpreender muito, porque, na verdade, não se trata propriamente de um triângulo: trata-se de um triângulo “gordo”, desenhado sobre uma esfera, e cujos lados não são segmentos, mas sim o que de mais parecido com segmentos pode ser desenhado numa esfera, ou seja, arcos de círculo máximo.

Como é a geometria dos triângulos na esfera? O que há de comum e de diferente em relação à geometria plana normal que conhecemos?