Como consequência simples da fórmula de Euler podemos demonstrar que só há cinco poliedros regulares. Um tal poliedro tem F faces, cada uma das quais é um polígono regular com o mesmo número h de lados, e a cada vértice chega um mesmo número k de arestas. Como cada aresta é comum a duas faces, hF é o dobro de A; e uma vez que toda a aresta contém exactamente dois vértices, kV é o dobro de A. Substituindo estes dados na fórmula de Euler, deduzimos que:

2A/k - A + 2A/h = 2,

de onde resulta, dividindo por 2A, que:

1/k + 1/h = 1/A + 1/2 > 1/2.

Atendendo agora a que os valores de h e de k são ambos maiores ou iguais a 3 (porque cada face tem pelo menos três lados e a cada vértice chegam pelo menos três arestas), a desigualdade

1/k + 1/h > 1/2

não deixa muitas possibilidades. De facto h e k não podem ser ambos maiores que 3, visto que 1/4 + 1/4 = 1/2, logo um deles é necessariamente igual a 3; se h=3, obtém-se 1/k > 1/2 - 1/3 = 1/6, isto é, k < 6; e, analogamente, quando k=3, concluimos que h < 6. As únicas possibilidades para h e k são então:

• h=k=3 (tetraedro: faces triangulares, três em cada vértice)
• h=3 e k=4 (octaedro: faces triangulares, quatro em cada vértice)
• h=3 e k=5 (icosaedro: faces triangulares, cinco em cada vértice)
• h=4 e k=3 (cubo: faces quadradas, três em cada vértice)
• h=5 e k=3 (dodecaedro: faces pentagonais, três em cada vértice)

Dos valores de h e k podemos deduzir os de A, V, F. Por exemplo, substituindo h=4 e k=3 (correspondentes ao cubo) em
1/k + 1/h = 1/A + 1/2, obtemos 1/A = 1/4 + 1/3 - 1/2 = 1/12,
isto é, A = 12, e portanto F = 24/4 = 6 e V = 24/3 = 8.
Vale a pena notar que esta demonstração de que os poliedros regulares são só cinco não usa nenhum dado métrico (comprimento das arestas, amplitude dos ângulos, ...).

Texto original (italiano): por Alessia Cazzola