Análise através dos segmentos

Foi já visto como podemos determinar a distância a O de cada ponto P da face superior. Se construirmos um gráfico que relacione a distância de P a O em função da sua posição na face podemos observar qual o ponto a distância máxima, para cada valor de a, b e c .

Neste sketch , ficheiro , é determinada a distância de cada ponto P da face superior ao ponto O. Para representar todos os pontos da face é necessário recorrer a um segmento que se desloca na face. Para cada posição do segmento, surge um gráfico que faz corresponder a cada ponto nesse segmento a sua distância ao ponto O. Movimentando P no segmento, podemos perceber melhor essa correspondência e experimentalmente localizar aproximadamente o ponto a distância máxima. Movimentando verticalmente o segmento conseguimos localizar uma região onde à partida estará o ponto da caixa a distância máxima.
 

Análise através das circunferências

Uma outra maneira de abordar este problema consiste em considerarmos uma «circunferência» centrada em O que, à medida que o seu raio aumenta, vai cobrindo todas as faces da caixa. Os pontos no interior da circunferência estão a uma distância de O inferior ao raio e os situados na linha da circunferência são os que estão a uma distância de O exactamente igual ao raio.

Sorry, this page requires a Java-compatible web browser.

 
 

Variando o raio da circunferência, determinamos progressivamente a distância dos pontos em cada face. A dada altura, os vários arcos produzidos pela circunferência nas faces da caixa intersectam-se, mostrando pontos para os quais existem vários caminhos com o mesmo comprimento.
 
 

Para melhor analisar este facto podemos recorrer à planificação da caixa:

Embora estejam representadas as planificações correspondentes às 4 trajectórias que devemos considerar, é possível representar numa só face o modo como a circunferência vai cobrindo a face superior, recorrendo a diferentes planificações da circunferência. A análise das intersecções destas circunferências vai-nos permitir determinar onde se situa o ponto que está a distância máxima de O.

Através do estudo das mediatrizes dos segmentos que unem os centros das circunferências, podemos concluir que elas delimitam uma zona (triângulo) onde necessariamente se encontra o ponto que procuramos.

No caso particular das caixas em que a face superior é um quadrado (a=b), esta zona degenera num ponto, sendo, então, esse o ponto da caixa a distância máxima de O: temos, pois, neste caso, uma construção do ponto a distância máxima de O.

Quando a caixa é cúbica (a=b=c), o ponto a maior distância de O coincide com o vértice da caixa oposto a O.