ATRACTOR

Dado um triângulo de vértices \(P_0\), \(P_1\) e \(P_2\), com abcissas \(x_0\), \(x_1\) e \(x_2\), obtemos, por bissecção, um novo triângulo cujas abcissas são dadas por \[x'_0\;=\;\frac{x_0+x_1}{2}\] \[x'_1\;=\;\frac{x_1+x_2}{2}\] \[x'_2\;=\;\frac{x_2+x_0}{2}\] Assim, se considerarmos \(x_m=\frac{x_0+x_1+x_2}{3}\), temos \[x'_0\;=\;\frac{3}{2}x_m-\frac{1}{2}x_2\] \[x'_1\;=\;\frac{3}{2}x_m-\frac{1}{2}x_0\] \[x'_2\;=\;\frac{3}{2}x_m-\frac{1}{2}x_1\] ou seja, \[x'_0-x_m\;=\;-\frac{1}{2}(x_2-x_m)\] \[x'_1-x_m\;=\;-\frac{1}{2}(x_0-x_m)\] \[x'_2-x_m\;=\;-\frac{1}{2}(x_1-x_m)\] Isto significa que os novos pontos são obtidos a partir dos anteriores através de uma homotetia de razão \(-1/2\) e de centro num ponto \(G\), denominado por baricentro, cujas coordenadas são dadas pela média aritmética entre cada uma das respectivas coordenadas dos três vértices do triângulo inicial. Geometricamente, uma vez que este ponto pertence aos segmentos que unem os pontos médios de cada lado aos vértices opostos, basta considerar o ponto de intersecção entre estes três segmentos para o determinar (na verdade, bastam apenas dois desses segmentos).

Assim, é fácil perceber porque é que o novo triângulo é semelhante ao inicial e surge numa posição que é obtida através de uma rotação de \(180\) graus. Tal acontece porque este triângulo é obtido do anterior a partir de uma homotetia de centro em \(G\) e de razão negativa. Cada um dos novos triângulos obtidos por este processo é semelhante ao anterior e, portanto, semelhante ao triângulo inicial, sendo que a razão de semelhança é uma potência de \(1/2\). Vemos também que os triângulos são cada vez mais pequenos, uma vez que a razão de semelhança tende para zero. No entanto, a menos da escala, os triângulos têm todos o mesmo aspecto e encontram-se alternadamente na posição do triângulo inicial ou na posição obtida por uma rotação de \(180\) graus. Será que tal é verdade para todos os polígonos?