ATRACTOR

Se considerarmos um quadrilátero cujas abcissas dos vértices são \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\) e \(x_3\), obtemos um novo quadrilátero cujas abcissas dos vértices são \(x'_0\), \(x'_1\), \(x'_2\) e \(x'_3\), onde \(x'_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\) para \(i\in\{0,1,2,3\}\) e onde \(x_4=x_0\).

A abcissa do ponto médio da diagonal que une os vértices de abcissas \(x'_0\) e \(x'_2\) é dada por \[\frac{x'_0+x'_2}{2}\;=\;\frac{1}{2}\left( \frac{x_0+x_1}{2}+\frac{x_2+x_3}{2}\right)\;=\; \frac{x_0+x_1+x_2+x_3}{4} \] enquanto que a abcissa do ponto médio da diagonal que une os vértices de abcissas \(x'_1\) e \(x'_3\) é dada por \[\frac{x'_1+x'_3}{2}\;=\;\frac{1}{2}\left( \frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_3+x_0}{2}\right)\;=\; \frac{x_0+x_1+x_2+x_3}{4} \] Isto significa que as diagonais do novo quadrilátero intersectam-se no ponto médio de ambas, cujas coordenadas são dadas pela média aritmética entre cada uma das respectivas coordenadas dos quatro vértices do quadrilátero inicial (este ponto, designado por centro de gravidade, é o mesmo para qualquer um dos quadriláteros da sucessão obtida). Assim, utilizando critérios de igualdade de triângulos, é fácil concluir que os lados opostos são iguais, pelo que o quadrilátero é um paralelogramo. Além disso, o quadrilátero inicial não determina univocamente os paralelogramos obtidos, isto é, a mesma sucessão de paralelogramos pode ser obtida por quadriláteros iniciais diferentes. De facto, existe mesmo uma infinidade de quadriláteros iniciais diferentes a dar origem à mesma sucessão de paralelogramos! Esta situação é completamente oposta à anterior, em que o triângulo inicial determinava univocamente a sucessão de triângulos e em que os triângulos obtidos eram todos semelhantes ao inicial.