ATRACTOR

\(\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\)

Consideremos um pentágono inicial cujas abcissas dos vértices são \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) e \(x_4\). Para cada \(x_r\) vamos escrever \[x_r\;=\;X+P_1\cos\frac{2r\pi}{5}+Q_1\sen\frac{2r\pi}{5}+ P_2\cos\frac{4r\pi}{5}+Q_2\sen\frac{4r\pi}{5}\] Temos assim um sistema de \(5\) equações com \(5\) incógnitas: \(X\), \(P_1\), \(Q_1\), \(P_2\) e \(Q_2\). Este sistema é possível e determinado, pelo que, sabendo o valor das abcissas, podemos calcular o valor das incógnitas. Por exemplo, para calcular o valor de \(X\) basta ver que, somando as cinco equações obtém-se \[\sum_{r=0}^4 x_r\;=\;5X\] ou seja, \[X\;=\;\frac{1}{5}\sum_{r=0}^4 x_r\] e \(X\) representa a abcissa do centro de gravidade dos \(5\) vértices. Notemos agora que, escrevendo o vector \((P_1,Q_1)\) na forma polar \((C_1 \cos\theta_1,C_1 \sen\theta_1)\) temos \[P_1\cos\frac{2r\pi}{5}+Q_1\sen\frac{2r\pi}{5}\;=\; C_1\cos\theta_1\cos\frac{2r\pi}{5} + C_1\sen\theta_1\sen\frac{2r\pi}{5}\;=\; C_1\cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1\right)\] Analogamente, temos \[P_2\cos\frac{4r\pi}{5}+Q_2\sen\frac{4r\pi}{5}\;=\; C_2\cos\left(\frac{4r\pi}{5}-\theta_2\right)\] pelo que \[x_r\;=\;X+C_1\cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1\right)+ C_2\cos\left(\frac{4r\pi}{5}-\theta_2\right)\] Então, vem \[\begin{array}{ll}x'_r & =\;\frac{x_r+x_{r+1}}{2}\;=\\ & =\;\frac{1}{2}\left(X+C_1\cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1\right)+ C_2\cos\left(\frac{4r\pi}{5}-\theta_2\right)+ X +\right.\\ &\;\;\;\;\;\left.C_1\cos\left(\frac{2(r+1)\pi}{5}-\theta_1\right)+ C_2\cos\left(\frac{4(r+1)\pi}{5}-\theta_2\right)\right)\;=\\ & =\;X+\frac{C_1}{2}\cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1\right)+ \frac{C_1}{2}\cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1+\frac{2\pi}{5}\right)+ \\&\;\;\;\;\; \frac{C_2}{2}\cos\left(\frac{4r\pi}{5}-\theta_2\right)+ \frac{C_2}{2}\cos\left(\frac{4r\pi}{5}-\theta_2+\frac{4\pi}{5}\right) \;=\\ & =\;X+C_1\cos\frac{\pi}{5} \cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1+\frac{\pi}{5}\right) +C_2\cos\frac{2\pi}{5} \cos\left(\frac{4r\pi}{5}-\theta_2+\frac{2\pi}{5}\right) \end{array}\] De seguida, temos \[\begin{array}{ll}x^{''}_r & =\;\frac{x'_r+x'_{r+1}}{2}\;=\\ & =\;X+C_1\cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1+\frac{2\pi}{5}\right)+ C_2\cos^2\left(\frac{2\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{4r\pi}{5}-\theta_2+\frac{4\pi}{5}\right) \end{array}\] e, mais geralmente \[\begin{array}{ll}x^{(k)}_r & =\;\frac{x^{(k-1)}_r+x^{(k-1)}_{r+1}}{2}\;=\\ & =\;X+C_1\cos^k\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1+\frac{k\pi}{5}\right)+ C_2\cos^k\left(\frac{2\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{4r\pi}{5}-\theta_2+\frac{2k\pi}{5}\right) \end{array}\] Quando \(k\) tende para infinito, as parcelas \(C_1\cos^k\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1+\frac{k\pi}{5}\right)\) e \(C_2\cos^k\left(\frac{2\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{4r\pi}{5}-\theta_2+\frac{2k\pi}{5}\right)\) tendem ambas para zero. No entanto, a segunda parcela tende mais rapidamente para zero do que a primeira, pelo que podemos desprezá-la e fazer a seguinte aproximação: \[x^{(k)}_r\;\approx\;X+ C_1\cos^k\left(\frac{\pi}{5}\right) cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1+\frac{k\pi}{5}\right)\] para um valor de \(k\) elevado. Fazendo \(C=C_1\cos^k\left(\frac{\pi}{5}\right)\) e \(\theta=\theta_1-\frac{k\pi}{5}\), vem \[x^{(k)}_r\;\approx\;X+C\cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta\right)\] ou seja, \[x^{(k)}_r\;\approx\;X+P\cos\frac{2r\pi}{5}+Q\sen\frac{2r\pi}{5}\] onde \(P=C\cos\theta\) e \(Q=C\sen\theta\). Analogamente, temos \[y^{(k)}_r\;\approx\;Y+R\cos\frac{2r\pi}{5}+S\sen\frac{2r\pi}{5}\] e, considerando pontos no espaço, \[z^{(k)}_r\;\approx\;Z+T\cos\frac{2r\pi}{5}+U\sen\frac{2r\pi}{5}\] Temos então que os pontos \(P^{(k)}_r=(x^{(k)}_r,y^{(k)}_r,z^{(k)}_r)\) aproximam-se cada vez mais do plano (eventualmente degenerado) definido pelo ponto \((X,Y,Z)\) e pelos vectores \((P,R,T)\) e \((Q,S,U)\). Este plano não depende de \(k\), podendo ser determinado a partir do pentágono original.

Seja \(f\) a aplicação linear cuja matriz é \(\left(\begin{array}{cc}P& Q\\R& S\\T& U\end{array}\right)\). Temos então que \(P^{(k)}_r \approx (X,Y,Z)+ f\left(\cos\frac{2r\pi}{5},\sen\frac{2r\pi}{5}\right)\), sendo que os pontos \(\left(\cos\frac{2r\pi}{3},\sen\frac{2r\pi}{3}\right)\) são os vértices de um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio unitário e centrada na origem. Assim, os pontos \(P_r^{(k)}\) aproximam-se cada vez mais dos vértices do pentágono que se obtém aplicando a função \(f\) a esse pentágono regular, seguida de uma translação segundo o vector \((X,Y,Z)\). Assim, enquanto que o pentágono regular estava inscrito numa circunferência de raio unitário e centrada na origem, este pentágono encontra-se inscrito numa elipse centrada em \((X,Y,Z)\), e os segmentos que eram paralelos no pentágono regular (cada lado é paralelo a uma diagonal) continuam a ser paralelos neste pentágono, como pode ser observado na figura abaixo

Cada lado do pentágono inscrito na elipse é paralelo a uma das suas diagonais

Notemos também que \[x^{(k+2)}_r\;\approx\;X+C_1\cos^{k+2}\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1+\frac{(k+2)\pi}{2}\right)\] \[x^{(k+2)}_r-X\;\approx\;C_1\cos^k\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2r\pi}{5}-\theta_1+\frac{k\pi}{5}+ \frac{2\pi}{5}\right)\] \[x^{(k+2)}_r-X\;\approx\;\cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right) C_1 \cos^k\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2(r+1)\pi}{3}-\theta_1+\frac{k\pi}{5}\right)\] Mas, como \[x^{(k)}_{r+1}-X\;\approx\;C_1\cos^k\left(\frac{\pi}{5}\right) \cos\left(\frac{2(r+1)\pi}{3}-\theta_1+\frac{k\pi}{5}\right)\] vem \[x^{(k+2)}_r-X\;\approx\;cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)(x^{(k)}_{r+1}-X)\] Assim, os pontos que se obtêm aplicando duas vezes o processo de bissecção a um pentágono são, aproximadamente, os mesmos pontos que se obtêm por uma homotetia de centro no centro de gravidade desse pentágono e de razão \(cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)\), sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for o valor de \(k\). Isto explica o facto de, na sucessão de pentágonos obtida, estes parecerem surgir alternadamente com a mesma forma, apenas com um tamanho menor.