ATRACTOR

Para considerar outros processos de construção de novos polígonos, experimente a seguinte app:

Clique nos vértices do polígono inicial \(P\) (a azul) e arraste-os, de modo a obter um novo polígono \(Q\) (a vermelho). Pode escolher o número de pontos do polígono inicial (até um máximo de seis) e os valores dos \(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{n-1}\in\mathbb{R}\) que surgem na matriz \[A=(\alpha_{n-i+j})_{0\leq i,j \leq n-1}= \left(\begin{array}{cccc}\alpha_0 & \alpha_1 & \ldots & \alpha_{n-1}\\ \alpha_{n-1} & \alpha_0 & \ldots & \alpha_{n-2}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \ldots & \alpha_0 \end{array}\right)\] que permite obter as coordenadas de \(Q\) a partir das coordenadas de \(P\).

Pode também saber qual o valor do determinante desta matriz, que será nulo no caso do polígono inicial não determinar univocamente o polígono obtido e diferente de zero caso contrário. Note que os centros gravíticos dos dois polígonos (pontos com a forma de quadrados) nem sempre coincidem, ao contrário do que acontecia com os processos das apps anteriores. De facto, tal acontece apenas quando a soma dos \(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{n-1}\in\mathbb{R}\) é igual a \(1\).

Se quiser, pode considerar apenas valores de \(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{n-1}\in\mathbb{R}\) não negativos e cuja soma é \(1\) (designados por valores usuais, uma vez que os processos das apps anteriores correspondem a este tipo de valores). Assim, observe como:

• se \(\alpha_0=\alpha_1=\frac{1}{2}\) e \(\alpha_j=0\) para \(j > 1\), temos o processo de bissecção;
• se \(\alpha_0=\frac{1}{3}\), \(\alpha_1=\frac{2}{3}\) e \(\alpha_j=0\) para \(j > 1\), temos o processo de trissecção;
• se, para algum \(p\) entre \(0\) e \(1\), \(\alpha_0=1-p\), \(\alpha_1=p\) e \(\alpha_j=0\) para \(j > 1\), temos o processo de divisão geral dos lados do polígono;
• se \(\alpha_1=\alpha_{n-1}=\frac{1}{2}\) e \(\alpha_j=0\) para \(j\neq 1,n-1\), temos o processo de bissecção das diagonais que unem vértices alternados;

e assim sucessivamente, podemos obter qualquer um dos processos considerados nas apps anteriores (note que, para quaisquer uns destes valores, os centros gravíticos dos dois polígonos coincidem).

No caso de o número de vértices ser ímpar, é também possível obter o processo inverso da bissecção (isto é, encontrar o polígono que, por bissecção, dá origem ao polígono inicial), embora não com valores usuais de \(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{n-1}\in\mathbb{R}\) uma vez que alguns são negativos. Consegue descobrir com que valores?