ATRACTOR

\(\DeclareMathOperator{\sen}{sen}\)

Se considerarmos um hexágono cujas abcissas dos vértices são \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\) e \(x_5\) obtemos um novo hexágono cujas abcissas dos vértices são \(x'_0\), \(x'_1\), \(x'_2\), \(x'_3\), \(x'_4\) e \(x'_5\), onde \(x'_r=\frac{x_r+x_{r+1}}{2}\) para \(r\in\{0,1,2,3,4,5\}\) e onde \(x_6=x_0\).

A abcissa do baricentro do triângulo de vértices \(x'_0\), \(x'_2\) e \(x'_4\) é dada por \[\frac{x'_0+x'_2+x'_4}{3}=\frac{1}{3} (\frac{x_0+x_1}{2}+\frac{x_2+x_3}{2}+\frac{x_4+x_5}{2})= \frac{x_0+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{6} \] enquanto que a abcissa do baricentro do triângulo de vértices \(x'_1\), \(x'_3\) e \(x'_5\) é dada por \[\frac{x'_1+x'_3+x'_5}{3}=\frac{1}{3} (\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}+\frac{x_5+x_0}{2})= \frac{x_0+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{6} \] De modo análogo, também as outras coordenadas coincidem. Assim, conclui-se que os baricentros dos dois triângulos são o mesmo ponto, cujas coordenadas são dadas pela média aritmética entre cada uma das respectivas coordenadas dos seis vértices do hexágono inicial (este ponto, designado por centro de gravidade, é o mesmo para qualquer um dos hexágonos da sucessão obtida). Além disso, o hexágono inicial não determina univocamente os hexágonos obtidos, isto é, a mesma sucessão de hexágonos pode ser obtida por hexágonos iniciais diferentes. De facto, tal como acontecia com os quadriláteros, existe uma infinidade de hexágonos iniciais diferentes a dar origem à mesma sucessão de hexágonos.

Para cada \(x_r\), com \(r\in\{0,1,2,3,4,5\}\), vamos agora escrever \[x_r\;=\;X+P_1 \cos\frac{r\pi}{3} +Q_1 \sen\frac{r\pi}{3} +P_2 \cos\frac{2r\pi}{3} +Q_2 \sen\frac{2r\pi}{3} +P_3 \cos r\pi\] Temos assim um sistema \(6\) equações com \(6\) incógnitas: \(X\), \(P_1\), \(Q_1\), \(P_2\), \(Q_2\) e \(P_3\). Este sistema é possível e determinado, pelo que, sabendo o valor das abcissas, podemos calcular o valor das incógnitas. Por exemplo, para calcular o valor de \(X\) basta ver que, somando as seis equações obtém-se \[\sum_{r=0}^5 x_r = 6X\] ou seja, \[X \;=\;\frac{1}{6} \sum_{r=0}^5 x_r\] e \(X\) representa a abcissa do centro de gravidade dos \(6\) vértices. Notemos agora que, escrevendo o vector \((P_1,Q_1)\) na forma polar \((C_1 \cos\theta_1,C_1 \sen\theta_1)\), temos \[P_1\cos\frac{r\pi}{3}+Q_1\sen\frac{r\pi}{3}\;=\; C_1\cos\theta_1\cos\frac{r\pi}{3} + C_1\sen\theta_1\sen\frac{r\pi}{3}\;=\; C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1\right)\] Analogamente, temos \[P_2\cos\frac{2r\pi}{3}+Q_2\sen\frac{2r\pi}{3}\;=\; C_2\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2\right)\] pelo que \[x_r\;=\;X+C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1\right)+ C_2\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2\right)+ P_3\cos r\pi\] Então, vem \[\begin{array}{ll}x'_r & =\;\frac{x_r+x_{r+1}}{2}\;=\\ & =\;\frac{1}{2}\left(X+C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1\right)+ C_2\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2\right)+ P_3\cos r\pi + X +\right.\\ & \;\;\;\;\;\left.C_1\cos\left(\frac{(r+1)\pi}{3}-\theta_1\right)+ C_2\cos\left(\frac{2(r+1)\pi}{3}-\theta_2\right)+ P_3\cos((r+1)\pi)\right)\;=\\ & =\;X+\frac{C_1}{2}\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1\right)+ \frac{C_1}{2}\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1+\frac{\pi}{3}\right)+\\ & \;\;\;\;\;\frac{C_2}{2}\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2\right)+ \frac{C_2}{2}\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2+\frac{2\pi}{3}\right)+\\ & \;\;\;\;\; P_3\cos r\pi + P_3\cos(r\pi+\pi)\;=\\ & =\;X+C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1+\frac{\pi}{6}\right) \cos\frac{\pi}{6}+\\ & \;\;\;\;\; C_2\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2+\frac{\pi}{3}\right) \cos\frac{\pi}{3}+ 2P_3\cos\left(r\pi+\frac{\pi}{2}\right)\cos\frac{\pi}{2}\;=\\ & =\;X+\frac{\sqrt{3}}{2} C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1+\frac{\pi}{6}\right)+ \frac{1}{2}C_2\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2+\frac{\pi}{3}\right) \end{array}\] Notemos que o coeficiente \(P_3\) é eliminado, pelo que a escolha do seu valor não interfere no hexágono obtido e, como tal, há uma infinidade de hexágonos iniciais a dar origem à mesma sucessão de hexágonos.

De seguida, temos \[\begin{array}{ll}x^{''}_r\;= & =\;\frac{x'_r+x'_{r+1}}{2}\;=\\ & =\;X+\frac{3}{4} C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1+\frac{\pi}{3}\right)+ \frac{1}{4} C_2\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2+\frac{2\pi}{3}\right) \end{array}\] e, mais geralmente, \[\begin{array}{ll}x^{(k)}_r & =\;\frac{x^{(k-1)}_r+x^{(k-1)}_{r+1}}{2}\;=\\ & =\;X+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1+\frac{k\pi}{6}\right)+ \left(\frac{1}{2}\right)^k C_2\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2+\frac{k\pi}{3}\right) \end{array}\] Quando \(k\) tende para infinito, as parcelas \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1+\frac{k\pi}{6}\right)\) e \(\left(\frac{1}{2}\right)^k C_2\cos\left(\frac{2r\pi}{3}-\theta_2+\frac{k\pi}{3}\right)\) tendem ambas para zero. No entanto, a segunda parcela tende mais rapidamente para zero do que a primeira, pelo que podemos desprezá-la e fazer a seguinte aproximação: \[x^{(k)}_r\;\approx\;X+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1+\frac{k\pi}{6}\right)\] para um valor de \(k\) elevado. Fazendo \(C=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k C_1\) e \(\theta=\theta_1-\frac{k\pi}{6}\) vem \[x^{(k)}_r\;\approx\;X+C\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta\right)\] ou seja, \[x^{(k)}_r\;\approx\;X+P\cos\frac{r\pi}{3}+Q\sen\frac{r\pi}{3}\] onde \(P=C\cos \theta\) e \(Q=C\sen \theta\). Analogamente, temos \[y^{(k)}_r\;\approx\;Y+R\cos\frac{r\pi}{3}+S\sen\frac{r\pi}{3}\] e, considerando pontos no espaço, \[z^{(k)}_r\;\approx\;Z+T\cos\frac{r\pi}{3}+U\sen\frac{r\pi}{3}\] Temos então que os pontos \(P^{(k)}_r=(x^{(k)}_r,y^{(k)}_r,z^{(k)}_r)\) aproximam-se cada vez mais do plano (eventualmente degenerado) definido pelo ponto \((X,Y,Z)\) e pelos vectores \((P,R,T)\) e \((Q,S,U)\). Este plano não depende de \(k\), podendo ser determinado a partir do hexágono original.

Seja \(f\) a aplicação linear cuja matriz é \(\left(\begin{array}{cc}P& Q\\R& S\\T& U\end{array}\right)\). Temos então que \(P^{(k)}_r \approx (X,Y,Z)+ f\left(\cos\frac{r\pi}{3},\sen\frac{r\pi}{3}\right)\), sendo que os pontos \(\left(\cos\frac{r\pi}{3},\sen\frac{r\pi}{3}\right)\) são os vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio unitário e centrada na origem. Assim, os pontos \(P_r^{(k)}\) aproximam-se cada vez mais dos vértices do hexágono que se obtém aplicando a função \(f\) a esse hexágono regular, seguida de uma translação segundo o vector \((X,Y,Z)\). Assim, enquanto que o hexágono regular estava inscrito numa circunferência de raio unitário e centrada na origem, este hexágono encontra-se inscrito numa elipse centrada em \((X,Y,Z)\), e os lados que eram paralelos no hexágono regular continuam a ser paralelos neste hexágono, como pode ser observado na figura:

Cada lado do hexágono inscrito na elipse é paralelo ao lado oposto e a uma das suas diagonais

Notemos também que \[x^{(k+2)}_r\;\approx\;X+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{k+2} C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1+\frac{(k+2)\pi}{6}\right)\] \[x^{(k+2)}_r-X\;\approx\;\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 C_1\cos\left(\frac{r\pi}{3}-\theta_1+\frac{k\pi}{6}+ \frac{\pi}{3}\right)\] \[x^{(k+2)}_r-X\;\approx\;\frac{3}{4}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k C_1\cos\left(\frac{(r+1)\pi}{3}-\theta_1+\frac{k\pi}{6}\right)\] Mas, como \[x^{(k)}_{r+1}-X\;\approx\;\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k C_1\cos\left(\frac{(r+1)\pi}{3}-\theta_1+\frac{k\pi}{6}\right)\] vem \[x^{(k+2)}_r-X\;\approx\;\frac{3}{4}(x^{(k)}_{r+1}-X)\] Assim, os pontos que se obtêm aplicando duas vezes o processo de bissecção a um hexágono são, aproximadamente, os mesmos pontos que se obtêm por uma homotetia de centro no centro de gravidade desse hexágono e de razão \(3/4\) sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for o valor de \(k\). Isto explica o facto de, na sucessão de hexágonos obtida, estes parecerem surgir alternadamente com a mesma forma, apenas com um tamanho menor.