ATRACTOR

Sejam \(P\) e \(Q\) dois polígonos do plano. Se \(P=(P_0,P_1,\ldots,P_{n-1})\) e \(Q=(Q_0,Q_1,\ldots,Q_{n-1})\), com \(P_i=(x_i,y_i)\) e \(Q_i=(z_i,w_i)\), dão origem ao mesmo polígono, isto significa que \(Ax=Az\) e \(Ay=Aw\), onde \(x=(x_0,x_1,\ldots,x_{n-1})\), \(y=(y_0,y_1,\ldots,y_{n-1})\), \(w=(w_0,w_1,\ldots,w_{n-1})\) e \(z=(z_0,z_1,\ldots,z_{n-1})\). Temos então \(A(x-z)=A(y-w)=0\), ou seja, os vectores \(x-z\) e \(y-w\) pertencem ao núcleo da matriz \(A\).
No caso da bissecção, temos \(a_0=a_1=\frac{1}{2}\) e \(a_j=0\) para \(j > 1\) e o núcleo da matriz \(A\) é gerado pelo vector \[u_{(n/2)}=((-1)^j)_{j=0,1,\ldots,n-1}=(1,-1,1,-1,\ldots).\] Assim, \(Q_i=P_i+R_i\) onde, para certos valores reais \(k\) e \(k'\), \[R_i=(z_i-x_i,w_i-y_i)=((-1)^i k,(-1)^i k')=(-1)^i (k,k')\]
A área do polígono \(P\) é dada por \[\frac{1}{2}\left|\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+1}\right|\] onde \((a,b)\times (c,d)=\det\left( \begin{array}{cc}a & b\\c & d\\\end{array}\right)=a d - b c\) e a área do polígono \(Q\) é dada por \[\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\left|\sum_{i=0}^{n-1} Q_i\times Q_{i+1}\right| & =\; \frac{1}{2}\left|\sum_{i=0}^{n-1} (P_i+R_i)\times (P_{i+1}+R_{i+1})\right|\;=\\ & =\; \frac{1}{2}\left|\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+1} +\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times R_{i+1} + \sum_{i=0}^{n-1} R_i\times P_{i+1} + \sum_{i=0}^{n-1} R_i\times R_{i+1}\right| \end{array}\] Mas como \[\begin{array}{ll}\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times R_{i+1} & =\; \sum_{i=0}^{n-1} (x_i,y_i)\times (-1)^{i+1}(k,k')\;=\\ & =\; \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1},y_{i+1})\times (-1)^i(k,k')\;=\\ & =\; \sum_{i=0}^{n-1} P_{i+1}\times R_i\;=\\ & =\; -\sum_{i=0}^{n-1} R_i\times P_{i+1} \end{array}\] e \[\sum_{i=0}^{n-1} R_i\times R_{i+1}\;=\;\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i(k,k')\times (-1)^{i+1}(k,k')\;=\;0\] vem \[\frac{1}{2}\left|\sum_{i=0}^{n-1} Q_i\times Q_{i+1}\right|\;=\; \frac{1}{2}\left|\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+1}\right| \] ou seja, as áreas dos polígonos \(P\) e \(Q\) são iguais.

Alternativamente, também poderíamos ter visto que as áreas dos polígonos obtidos juntando os vértices de índice par são iguais, assim como as áreas dos polígonos obtidos juntando os vértices de índice ímpar. De facto, como \(Q_i=P_i+(k,k')\) para todo o valor de \(i\) par, o polígono obtido juntando os vértices de índice par do polígono \(Q\) é a imagem por uma translação associada ao vector \((k,k')\) do polígono obtido juntando os vértices de índice par do polígono \(P\), pelo que têm a mesma área. Analogamente, o polígono obtido juntando os vértices de índice ímpar do polígono \(Q\) é a imagem por uma translação associada ao vector \((-k,-k')\) do polígono obtido juntando os vértices de índice ímpar do polígono \(P\) pelo que também têm a mesma área. Mas, como a área de um polígono qualquer pode ser calculada a partir dos valores das áreas relativas ao polígono obtido por bissecção e aos polígonos obtidos unindo, respectivamente, os vértices de índice par e os de índice ímpar, e uma vez que estes valores são iguais para os polígonos \(P\) e \(Q\) as suas áreas também o são.