ATRACTOR

A área do polígono obtido é \[\frac{1}{2}\left|\sum_{i=0}^{n-1} P'_i\times P'_{i+1}\right|\] onde \((a,b)\times (c,d)=\det\left( \begin{array}{cc}a & b\\c & d\\\end{array}\right)=a d - b c\) para dois vectores \((a,b)\) e \((c,d)\) quaisquer.
Temos \[\begin{array}{ll}\sum_{i=0}^{n-1} P'_i\times P'_{i+1} & =\; \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2} (P_i+ P_{i+1}) \times \frac{1}{2} (P_{i+1}+ P_{i+2})\;=\\ & =\; \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{n-1} (P_i\times P_{i+1} + P_i\times P_{i+2}+ P_{i+1}\times P_{i+2})\;=\\ & =\; \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+1} + \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+2}+ \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{n-1} P_{i+1}\times P_{i+2}\;=\\ & =\; \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+1} + \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+2}+ \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+1}\;=\\ & =\; \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+1} + \frac{1}{4}\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+2} \end{array}\] No caso de \(P\) ser um triângulo, temos: \[\begin{array}{ll}\sum_{i=0}^2 P_i\times P_{i+2} &=\;P_0\times P_2+P_1\times P_3+P_2\times P_4\;=\\ &=\;P_0\times P_2+P_1\times P_0+P_2\times P_1\;=\\ &=\;-(P_0\times P_1+P_1\times P_2+P_2\times P_0)\;=\\ &=\;-\sum_{i=0}^2 P'_i\times P'_{i+1} \end{array}\] pelo que \[\sum_{i=0}^2 P'_i\times P'_{i+1}\;=\;\frac{1}{2}\sum_{i=0}^2 P_i\times P_{i+1}-\frac{1}{4}\sum_{i=0}^2 P_i\times P_{i+1}\;= \;\frac{1}{4}\sum_{i=0}^2 P_i\times P_{i+1} \] e a área do triângulo obtido por bissecção é um quarto da área do triângulo inicial.
No caso de \(P\) ser um quadrilátero, temos \[\begin{array}{ll}\sum_{i=0}^3 P_i\times P_{i+2} &=\;P_0\times P_2+P_1\times P_3+P_2\times P_4+P_3\times P_5\;=\\ &=\;P_0\times P_2+P_1\times P_3+P_2\times P_0+P_3\times P_1\;=\;0 \end{array}\] pelo que \[\sum_{i=0}^3 P'_i\times P'_{i+1}\;=\;\frac{1}{2}\sum_{i=0}^3 P_i\times P_{i+1}\] e a área do quadrilátero obtido por bissecção é metade da área do quadrilátero inicial.
Nota: no caso de polígonos com um número de vértices par (\(n=2m\) para algum \(m\) inteiro) e superior a \(4\), temos \[\sum_{i=0}^{n-1} P_i\times P_{i+2}\;=\;\sum_{j=0}^{m-1} P_{2j}\times P_{2j+2} + \sum_{j=0}^{m-1} P_{2j+1}\times P_{2j+3}\] sendo que \(\frac{1}{2}\left|\sum_{j=0}^{m-1} P_{2j}\times P_{2j+2}\right|\) representa a área do polígono de vértices \(P_{2j}\) (ou seja, de índice par) e \(\frac{1}{2}\left|\sum_{j=0}^{m-1} P_{2j+1}\times P_{2j+3}\right|\) representa a área do polígono de vértices \(P_{2j+1}\) (ou seja, de índice ímpar). Portanto, a área do polígono obtido por bissecção é igual à soma de metade da área do polígono inicial com a quarta parte das áreas dos polígonos obtidos unindo, respectivamente, os vértices de índice par e os de índice ímpar do polígono inicial.