Sistemas Presa-Predadores 
As órbitas andam à volta
A ideia transmitida pelo campo de vectores de que as órbita andam à volta do ponto de equilíbrio é verdadeira. Para o mostrar consideramos uma destas órbitas que se inicie, por exemplo, na região I, isto é, que \(x(0)>\frac{C}{D}\) e \(y(0)>\frac{A}{B}\). Comecemos por verificar que essa órbita entra na região II.
Analisemos a primeira equação do sistema, \(x^{'}=Ax-Bxy=(A-By)x\); como \(x\) se mantém positvo daqui resulta que \[\frac{1}{x}x^{'}=A-By\]
Integrando entre \(0\) e \(t\), obtemos \(\ln x(t)-\ln x(0)=\intop_{0}^{t}A-By(s)ds.\)
Ora, na região \(I\), \(y\) é crescente, logo, \(y(s)>y(0)\) enquanto a órbita se mantiver na região \(I\). E, portanto, temos \(A-By(s)<A-By(0)\). Como \(A-By(0)\) é constante negativo, pois \(y(0)>\frac{A}{B}\), digamos \(A-By(0)=-k\) (com \(k>0\)), então \[\begin{array}{ccccccc} \ln x(t)-\ln x(0)<\intop_{0}^{t}-kds & & \ln\frac{x(t)}{x(0)}<-kt \\ \frac{x(t)}{x(0)}<e^{-kt} & & x(t)<x(0)e^{-kt}\end{array}\]
Portanto, para todo o instante \(t\) em que a órbita se mantém na região \(I\), temos: \[\frac{C}{D}<x(t)<x(0)e^{-kt}\]
Deste modo, podemos garantir que o intervalo de tempo em que a órbita se mantém em \(I\) é limitado, digamos \([0,T_{MAX}]\) com \(T_{MAX}\) finito (menor que \(T^{*}\) como na figura), porque a função estritamente decrescente \(x(0)e^{-kt}\) se aproxima arbitrariamente de \(0\) se \(t\) tomar valores suficientemente grandes, o que garante a existência de \(T^{*}\).
Desenvolvendo um raciocínio análogo, partindo da segunda equação do sistema obtemos \[\frac{A}{B}<y(t)<y(0)e^{-k't}\]onde \(k^{'}=-C+Dx(0);\) e, como \(t<T_{MAX},y(t)<y(0)e^{-k'T_{MAX}}.\)
Conjugando estas informações sobre as duas funções, concluímos que, enquanto a órbita se mantém na região \(I\), permanece no rectângulo \[[\frac{C}{D},x(0)]\times[\frac{A}{B},y(0)e^{-k'T_{MAX}}]\]
Deste modo, o intervalo de tempo para o qual (\(x(t),y(t))\) está definido é \([0,+\infty[\) e, portanto, a órbita continua para além do valor \(T_{MAX}\) , não terminando, por isso, na região \(I\). Logo, por continuidade e tendo em conta a monotonia das funções \(x\) e \(y\), o prolongamento da órbita entra em \(II\).
O procedimento para as outras regiões é análogo. Conclusão: as órbitas próximas de \((\frac{C}{D},\frac{A}{B})\) andam à volta do ponto de equilíbrio.
