ATRACTOR

É também possível calcular os valores \(x_{i}\) sem o conhecimento dos valores do PageRank. De facto, atendendo às propriedades do vector \(x\), basta calcular o único vector próprio associado ao valor próprio \(1\) da matriz \(P\) cujas componentes são maiores ou iguais a zero e tal que a sua soma é \(1\). No entanto, atendendo às dimensões da matriz \(P\), é conveniente recorrer a métodos iterativos. Notemos que a própria definição do vector \(x\) fornece um método iterativo de cálculo do seu valor. Como \(x\) é o limite da sucessão de vectores de probabilidades \(x^{\left(m\right)}\) definida iterativamente por \(x^{\left(m+1\right)}=Px^{\left(m\right)}\), basta considerar um vector de probabilidades inicial \(x^{\left(0\right)}\) qualquer e, em cada passo, multiplicar a matriz \(P\) pela matriz coluna correspondente ao vector obtido.

Se \(s_{j}\neq0,\forall j\epsilon\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \), temos \[\begin{array}{ccl} x_{i}^{\left(m+1\right)} & = & \sum_{j=1}^{n}p_{ij}x_{j}^{\left(m\right)}=\\ & = & \sum_{j=1}^{n}\left(\frac{1-p}{n}+p\frac{g_{ij}}{s_{j}}\right)x_{j}^{\left(m\right)}=\\ & = & \frac{1-p}{n}\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{\left(m\right)}+p\sum_{j=1}^{n}\frac{g_{ij}}{s_{j}}x_{j}^{\left(m\right)} \end{array}\]

Além disso, como \(x^{\left(m\right)}\) é um vector de probabilidades para todo o número natural \(m\), temos \[\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{\left(m\right)}=\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{\left(0\right)}=1,\forall m\epsilon\mathbb{N}\]

Portanto, vem \[\begin{array}{ccl} x^{\left(m+1\right)} & = & \frac{1-p}{n}\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{\left(m\right)}+p\sum_{j=1}^{n}\frac{g_{ij}}{s_{j}}x_{j}^{\left(m\right)}=\\ & = & \frac{1-p}{n}+p\sum_{j=1}^{n}\frac{g_{ij}}{s_{j}}x_{j}^{\left(m\right)}=\\ & = & \frac{1-p}{n}+p\left(\frac{x_{j_{1}}^{\left(m\right)}}{s_{j_{1}}}+\frac{x_{j_{2}}^{\left(m\right)}}{s_{j_{2}}}+\cdots+\frac{x_{j_{k}}^{\left(m\right)}}{s_{j_{k}}}\right) \end{array}\] onde \(j_{1},j_{2},\cdots,j_{k}\) são os índices das páginas com ligação à página de índice \(i\). De facto, este método de cálculo iterativo coincide (desde que não haja nenhum link de uma página para ela própria) com o método de Jacobi para calcular os valores de \[PR^{*}\left(P_{i}\right)=\frac{PR\left(P_{i}\right)}{n}=x_{i}.\] No entanto, o mesmo já não é válido se \(s_{j}=0\) para algum \(j\epsilon\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \), ou seja, se nem todas as páginas possuem pelo menos um link.

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