Como ordenar páginas da Internet 
O modelo (III)
Seja \(r=\frac{1-p}{1-p\sum_{s_{j}\neq0}x_{j}}\). Como \(p\neq1\), temos \[\begin{array}{ccl} 0 & \leq & \sum_{s_{j}=0}x_{j}\leq1\Rightarrow\\ & \Rightarrow & 1-p\leq1-p\sum_{s_{j}=0}x_{j}\leq1\Rightarrow\\ & \Rightarrow & \frac{1-p}{1}\leq\frac{1-p}{1-p\sum_{s_{j}\neq0}x_{j}}\leq\frac{1-p}{1-p}\Rightarrow\\ & \Rightarrow & 1-p\leq r\leq1 \end{array}\]
Observemos que, partindo da equação \[x_{i}=\frac{1-p\sum_{s_{j}\neq0}x_{j}}{n}+p\sum_{s_{j}\neq0}\frac{g_{ij}}{s_{j}}x_{j}\] se multiplicarmos ambos os membros da equação por \(rn\) (como vimos, \(r\neq0\)), temos \[\begin{array}{ccl} rnx_{i} & = & rn\frac{1-p\sum_{s_{j}\neq0}x_{j}}{n}+rnp\sum_{s_{j}\neq0}\frac{g_{ij}}{s_{j}}x_{j}\\ rnx_{i} & = & \left(1-p\right)+p\sum_{s_{j}\neq0}\frac{g_{ij}}{s_{j}}rnx_{j} \end{array}\] ou seja, \[rnx_{i}=\left(1-p\right)+p\left(\frac{rnx_{j1}}{s_{j1}}+\frac{rnx_{j2}}{s_{j12}}+\cdots+\frac{rnx_{jk}}{s_{jk}}\right)\] onde \(j_{1},j_{2},\cdots,j_{k}\) são os índices das páginas que possuem um link para a página de índice \(i\).
De facto, temos que \(PR\left(P_{i}\right)=rnx_{i}\) e o valor do PageRank coincide, a menos do factor \(rn\), com a probabilidade de, a longo prazo, o utilizador se encontrar na página de índice \(i\). Assim, o PageRank de uma página qualquer varia entre \(0\) e \(rn\) (mais propriamente, entre \(1-p\) e \(rn\)) e a soma do PageRank de todas as páginas é \(rn\) (logo, menor ou igual a \(n\), sendo estritamente menor do que \(n\) quando \(r<1\), ou seja, quando nem todas as páginas possuem pelo menos um link).
Notemos agora que, se soubermos os valores do PageRank de todas as páginas, podemos facilmente calcular os valores \(x_{i}.\)
Como \(PR\left(P_{i}\right)=rnx_{i}\), temos \[x_{i}=\frac{PR\left(P_{i}\right)}{rn}\]
Além disso, vimos que a soma do PageRank de todas as páginas é \(rn.\) Logo, temos \[x_{i}=\frac{PR\left(P_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{n}PR\left(P_{i}\right)}\]
(ou seja, o valor de \(x_{i}\) coincide com o quociente entre o PageRank da página de índice \(i\) e o PageRank total).
E se não soubermos os valores do PageRank de todas as páginas?
