A curva loxodrómica e duas projecções da esfera 
Projecção estereográfica
Fixado um ponto \(C\) da esfera, denominado por origem da projecção, a projecção estereográfica de um ponto \(P\neq C\) da esfera estará no plano tangente à esfera no ponto antípoda (ponto diametralmente oposto) de \(C\). Esse plano é designado por plano de projecção. A projecção de \(P\) resulta da intersecção da semi-recta \(CP\) com o plano de projecção.
A projecção estereográfica aqui definida tem como origem da projecção o Pólo Sul e, portanto, o plano de projecção é o plano tangente à esfera no Pólo Norte. Note-se que a projecção do ponto coincidente com o Pólo Sul não está definida.
Esquema da Projecção Estereográfica com Origem no Pólo Sul.
Dado um ponto \(P\) na esfera com coordenadas esféricas \(\left(r,\theta,\varphi\right)\) e \(P'\) a projecção estereográfica de P definida acima, então as coordenadas de \(P'\) são dadas por \(2r\tg\left(\frac{\varphi}{2}\right)\left(\cos\theta\,,\,\sen\theta\right)\).
Contudo, para uma melhor visualização dos países no mapa da projecção estereográfica escolhida, consideramos o plano do mapa obtido pela rotação do plano de projecção de amplitude \(\frac{\pi}{2}\) no sentido negativo e centro na origem do referencial.
Assim, a projecção estereográfica é a função \(\mathcal{E}\) da esfera de raio r no plano induzida por: \[\begin{array}{ccll} \mathcal{E}: & \mathbb{R}\,\times\,]0\,,\pi[ & \longrightarrow &\mathbb{R}^{2}\\& \left(\theta,\varphi\right) & \mapsto & 2r\tg\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\,,\,\sen\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\right) \end{array}\,.\]
Um ponto qualquer do plano \(\mathbb{R}^{2}\) pode ser determinado sabendo as suas coordenadas polares: \(\left(\rho,\theta\right)\), onde \(\rho\) é a distância do ponto à origem O do referencial e \(\theta\) é a amplitude do ângulo que o vector \(\overrightarrow{OP}\) faz com o semi-eixo positivo das abcissas. Assim, as suas coordenadas cartesianas são dadas por \(\rho\left(\cos\theta\,,\,\sen\theta\right)\).
1. Recordemos que, se \(\alpha\neq\frac{\pi}{2}+n\pi\), \(n\in\mathbb{Z}\), uma parametrização de \(\ell_{\alpha}\) que passa num ponto P com coordenadas esféricas \(\left(r,\theta_{P},\varphi_{P}\right)\) é dada por:
\[\ell_{\alpha}\left(\varphi\right)=\left(r\cos\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\right)\sen\varphi\,,\,r\sen\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\right)\sen\varphi\,,\,r\cos\varphi\right)\,,\] com \(\varphi\in\,]0\,,\pi[\) e \(\theta_\alpha(\varphi)=\theta_{P}+\tg\alpha\left[\ln\left(\cotg\frac{\varphi}{2}\right)-\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\right]\,.\)
Assim,
a projecção da curva loxodrómica é a função \(\mathcal{E}\circ\ell_{\alpha}\)
definida por: \[\begin{array}{ccll}
\mathcal{E\circ}\ell_{\alpha}: & ]0\,,\pi[ & \longrightarrow
& \mathbb{R}^{2}\\ & \varphi & \mapsto & 2r\tg\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)-\frac{\pi}{2}\right)\,,\,\sen\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)-\frac{\pi}{2}\right)\right)
\end{array}\,.\]
Supondo adicionalmente que \(\alpha\neq n\pi,\, n\in\mathbb{Z}\), e definindo \(\varphi\) em função de \(\theta\), vem que \(\varphi_\alpha\left(\theta\right)=2\arccotg\left(e^{\frac{\theta-k}{\tg\alpha}}\right)\), com \(k=\theta_{P}-\tg\alpha\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\).
Logo,
podemos reparametrizar a projecção estereográfica da curva da
seguinte forma: \[\begin{array}{ccll}
\mathcal{E\circ}\ell_{\alpha}\circ\varphi_\alpha: & \mathbb{R}
& \longrightarrow & \mathbb{R}^{2}\\ & \theta &
\mapsto & 2r\, e^{\frac{k-\theta}{\tg\alpha}}\left(\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\,,\,\sen\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\right)
\end{array}\,,\] com \(k=\theta_{P}-\tg\alpha\ln\left(\cotg\frac{\varphi_{P}}{2}\right)\).
O traço de uma curva assim definida é uma espiral.
Curva loxodrómica projectada no plano pela Projecção Estereográfica. A latitude varia entre -60º e 90º.
2. Se \(\alpha=\frac{\pi}{2}+n\pi\), para algum \(n\in\mathbb{Z}\), uma parametrização de \(\ell_{\alpha}\) que passa num ponto \(P\) com coordenadas esféricas \(\left(r,\theta_{P},\varphi_{P}\right)\) é dada por:
\[\ell_{\alpha}\left(\theta\right)=\left(r\cos\left(\theta\right)\sen\left(\varphi_{P}\right)\,,\,
r\sen\left(\theta\right)\sen\left(\varphi_{P}\right)\,,\, r\cos\left(\varphi_{P}\right)\right)\,,\]
com \(\theta\in\,[0,2\pi],\)
cujo traço na esfera é um paralelo.
Neste
caso, a projecção da curva loxodrómica é a função \(\mathcal{E}\circ\ell_{\alpha}\)
definida por: \[\begin{array}{ccll}\mathcal{E\circ}\ell_{\alpha}:
& [0\,,2\pi] & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2}\\&
\theta & \mapsto & 2r\tg\frac{\varphi_{P}}{2}\left(\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\,,\,\sen\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\right)\;.
\end{array}\] Como
\(2r\tg\frac{\varphi_{P}}{2}\) é uma constante positiva, a função
define uma circunferência no plano de raio \(2r\tg\frac{\varphi_{P}}{2}\)
e centro na origem do referencial.
Curva loxodrómica perpendicular aos meridianos projectada no plano usando a Projecção Estereográfica. A latitude varia entre -60º e 90º.
3. Se \(\alpha=n\pi\), para algum \(n\in\mathbb{Z}\), uma parametrização de \(\ell_{\alpha}\) que passa num ponto \(P\) com coordenadas esféricas \(\left(r,\theta_{P},\varphi_{P}\right)\) é dada por:
\[\ell_{\alpha}\left(\varphi\right)=\left(r\cos\left(\theta_{P}\right)\sen\varphi\,,\,r\sen\left(\theta_{P}\right)\sen\varphi\,,\,
r\cos\varphi\right)\,,\] com \(\varphi\in\,]0,\pi[,\)
cujo traço na esfera é um meridiano.
Neste
caso, a projecção da curva loxodrómica é a função \(\mathcal{E}\circ\ell_{\alpha}\)
definida por: \[\begin{array}{ccll}\mathcal{E\circ}\ell_{\alpha}:
& ]0\,,\pi[ & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2}\\&
\varphi & \mapsto & 2r\tg\frac{\varphi}{2}\left(\cos\left(\theta_{P}-\frac{\pi}{2}\right)\,,\,\sen\left(\theta_{P}-\frac{\pi}{2}\right)\right)\;,
\end{array}\] uma
semi-recta com origem em \((0,0)\) e declive \(\tg\left(\theta_{P}-\frac{\pi}{2}\right)\).
