A curva loxodrómica e duas projecções da esfera 
Definição
Considere-se a esfera com centro na origem \(O\) do referencial ortonormado \(Oxyz\) e raio \(r>0\). Designaremos esta esfera por \(\mathbb{S}^{2}\).
Curva loxodrómica cujo traço tem a forma de espiral.
Seja \(\ell_{\alpha}\) uma curva loxodrómica cujo ângulo de intersecção com os meridianos é \(\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right]\) e que passa num ponto \(P\) com coordenadas esféricas \(\left(r,\theta_{P},\varphi_{P}\right)\,,\) com \(\theta_{P}\in[0\,,2\pi]\) e \(\varphi_{P}\in\ ]0\,,\pi[\). A parametrização da curva loxodrómica \(\ell_{\alpha}\) pode ser definida por:
- Se \(\alpha=\pm\frac{\pi}{2}\),
\[\begin{array}{ccll} \ell_{\alpha}: & [0\,,2\pi] & \longrightarrow & \mathbb{S}^{2}\\ & \theta & \mapsto & \left(r\cos\theta\sen\left(\varphi_{P}\right)\,,\, r\sen\theta\sen\left(\varphi_{P}\right)\,,\, r\cos\left(\varphi_{P}\right)\right)&. \end{array}\]
Neste caso, o seu traço corresponde a um paralelo com a mesma latitude que P; em particular, se \(\varphi_{P}=\frac{\pi}{2}\), \(\ell_{\alpha}\) dá-nos uma parametrização da linha do Equador.
- Se \(\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right[\),
\[\begin{array}{ccll} \ell_{\alpha}: & ]0\,,\pi[ & \longrightarrow & \mathbb{S}^{2}\\ & \varphi & \mapsto & \left(r\cos\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\right) \sen\varphi\,,\, r\sen\left(\theta_\alpha\left(\varphi\right)\right) \sen\varphi\,,\, r\cos\varphi\right)&,\end{array}\]
com \(\theta_\alpha(\varphi)=\theta_{P}+\tg\alpha\left[\ln\left(cotg \frac{\varphi}{2}\right)-\ln\left(cotg \frac{\varphi_{P}}{2}\right)\right]\).
Vejamos uns casos particulares:
- quando \(\alpha=0\), o traço da curva coincide com um meridiano (sem os pólos);
- quando \(\alpha=\pm\frac{\pi}{2}\), o traço da curva corresponde a um paralelo geográfico;
- nos restantes casos, o traço da curva loxodrómica assume a forma de uma espiral em torno dos pólos, sem os conter.
