Inversão no plano 
Inversão
É natural chamar inversão à função que a cada número real maior que zero associa o seu inverso \(x\rightarrow\frac{1}{x}\).
Esta função envia 1 em 1: 1 é ponto fixo para a inversão. A inversão envia a semi-recta representando os números maiores que zero sobre si própria, trocando a semi-recta vermelha com o segmento azul:
O produto das distâncias à origem de qualquer ponto e do seu inverso é (sempre) 1.
Se quisermos estender esta noção ao plano ou ao espaço, podemos definir uma inversão de centro num ponto \(O\), aplicando a cada semi-recta de origem \(O\) a ideia descrita acima. O inverso de um ponto \(P\) diferente de \(O\) será o ponto \(P'\) da semi-recta \(OP\), tal que \(\overline{OP}.\overline{OP'}=1\).
No plano, todos os pontos da circunferência unitária centrada em O ficam fixos por esta transformação: essa circunferência diz-se a circunferência de inversão. A inversão troca as regiões azul e violeta:
Analogamente, teremos no espaço uma superfície esférica de inversão de raio 1 e centro \(O\), constituída por pontos fixos para a inversão.
N.B. - É possível considerar, mais geralmente, circunferências de inversão de raios diferentes de 1. Se \(C\) é uma circunferência de centro \(O\) e raio \(r\), o inverso de um ponto \(P\) diferente de \(O\), relativamente a \(C\), será o ponto \(P'\) da semi-recta \(OP\), tal que \(\overline{OP}.\overline{OP'}=r^{2}\). (Analogamente se define a inversão no espaço, relativamente a uma superfície esférica qualquer.)
Algumas propriedades da inversão no plano
Qualquer recta que não passe pelo centro de inversão \(O\) é enviada numa circunferência que passa pelo centro de inversão (o único ponto dessa circunferência que não é inverso de um ponto da recta é \(O\)). Caso a recta passe por \(O\), \(O\) determina na recta duas semi-rectas abertas (de extremo \(O\)). Cada uma dessas semi-rectas é enviada pela inversão nela própria, sendo trocada a parte que está dentro da circunferência com a que está fora.
Qualquer circunferência que não passe pelo centro de inversão \(O\) é enviada sobre uma circunferência. No caso de a circunferência passar por \(O\), os seus pontos diferentes de \(O\) terão como inversos (todos) os pontos de uma recta.
A inversão conserva ângulos. Em particular, a inversão conserva tangência e ortogonalidade. Há planos de incluir mais tarde no site as demonstrações desta e das outras propriedades da inversão acima mencionadas. Para quem é familiar com as propriedades dos números complexos e das funções analíticas, algumas das propriedades deduzem-se de maneira muito simples e elegante de uma definição alternativa da inversão.
