Inversão no plano 
Inversão no plano complexo
Se tivermos presentes algumas propriedades elementares dos números complexos, podemos facilmente dar uma descrição alternativa da inversão geométrica atrás definida e deduzir algumas das propriedades enunciadas.
Um complexo fica determinado pelo seu módulo (distância à origem) e pelo seu argumento (ângulo da semi-recta real positiva com a semi-recta emitida da origem e determinada pelo complexo).
E não é dificil concluir que o módulo do produto de dois complexos é igual ao produto dos módulos e que o argumento do produto é a soma dos argumentos.
Destas propriedades resulta imediatamente que, dado um complexo não nulo z:
- o módulo do seu inverso (no sentido da multiplicação de complexos, isto é, o número que multiplicado por z dá 1) é igual ao inverso do seu módulo: o produto das distâncias à origem dos pontos correspondentes é 1.
- a soma dos argumentos do complexo e do seu inverso (na mesma acepção) é 0 (argumento de 1).
Se compararmos esta inversão para a multiplicação com a inversão geométrica atrás definida no plano, vemos que não coincidem. Mas os inversos de um mesmo ponto, nas duas acepções, são simétricos um do outro relativamente à recta real no plano complexo. Ora esta simetria corresponde à função que troca o sinal à parte imaginária de um complexo, isto é, corresponde à passagem ao conjugado.
Portanto, a inversão geométrica anteriormente considerada pode ser descrita em termos dos números complexos pela função \(z\rightarrow\frac{1}{\overline{z}}\) ou \(z\rightarrow\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}\).
Ora, obviamente que a passagem ao conjugado, traduzida geometricamente por uma reflexão, conserva ângulos (além de trocar a orientação). E resulta de propriedades gerais das funções analíticas, que a função \(z\rightarrow\frac{1}{z}\) também conserva ângulos (além de conservar a orientação). Portanto, a inversão geométrica, como composta das duas, também conserva ângulos (além de trocar a orientação).
