A Curvatura e a Torção: como distinguir a forma de uma curva 
Ainda a Curvatura (II)
A partir de uma determinada função curvatura também é possível determinar uma curva que tem esta função como função curvatura. Considere-se, por exemplo, a seguinte função curvatura:
Então, tem-se que:
| tempo | \(t_{0}\) | \(t_{1}\) | \(t_{2}\) | \(t_{3}\) | \(t_{4}\) | \(t_{5}\) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sinal da curvatura | 0 | + | - | + | 0 | ||||||
| direcção do automóvel | frente | esquerda | direita | esquerda | frente |
Portanto, a trajectória do nosso automóvel seria (se se deslocasse com velocidade constante igual a \(1\)):
Mas será que existe outra curva (ou seja, outra trajectória para o automóvel que se desloca com velocidade constante igual a 1) cuja função curvatura seja dada pela função acima? Analisemos a seguinte curva:
Será que a função curvatura desta curva é diferente da anterior?
Uma vez que a curvatura num ponto depende apenas da tangente à curva nesse ponto, o facto de rodarmos a curva não irá alterar a curvatura dos seus pontos (pois as sucessivas tangentes também irão rodar igualmente). Portanto, qualquer rotação ou qualquer translação da curva indicada inicialmente terá como função curvatura a função apresentada.
De facto, o Teorema Fundamental das Curvas Planas garante que se duas curvas planas (supondo que estão a ser percorridas com velocidade constante igual a \(1\)) têm a mesma função curvatura, existe um movimento rígido que transforma uma curva na outra. Isto significa que é possível transformar qualquer uma das curvas na outra sem recorrer a deformações, ou seja, utilizando apenas translações e rotações.
Logo, uma qualquer curva plana fica definida, de forma única, por três informações
- a função curvatura;
- o ponto inicial da curva (corresponde à translação);
- a tangente inicial da curva (corresponde à rotação).
Veja a seguinte app e confirme experimentalmente que estas três informações são suficientes para definir uma curva plana:
Note-se que até ao momento apenas estudámos o caso das curvas planas. Mas será que podemos generalizar a noção de curvatura para curvas que não sejam planas? Será que uma qualquer curva tridimensional fica também definida, de forma única, pelas três informações acima referenciadas?
