Conchas 
O modelo I
Em primeiro lugar, observemos uma concha, como a da figura seguinte, vista de perfil e estudemos a sua forma (olhando-a como se fosse um objecto bidimensional).
A curva que melhor se aproxima desta forma é a espiral equiangular (também conhecida por espiral logarítmica) que, em coordenadas polares, tem equação \[r(\theta )=Ae^{\theta \cotg (\alpha )},\,\,\theta \geq 0,\]
onde
- \(A\) é a distância da origem do referencial ao ponto inicial da espiral (\(\theta= 0\));
- \(\alpha\) (\(0% %TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xba}}% %BeginExpansion {{}^o}% %EndExpansion <\alpha <90% %TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xba}}% %BeginExpansion {{}^o}% %EndExpansion \)) é o ângulo de abertura da espiral.
Para observar o que acontece à espiral quando se variam os parâmetros \(\alpha\) e \(A\), veja a seguinte app.
Observações:
- \(r(\theta _{0})\) indica a distância do ponto da curva em \(\theta_{0}\) à origem do referencial;
- O caso \(\alpha =90% %TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xba}}% %BeginExpansion {{}^o}% %EndExpansion\) gera uma circunferência, o que não seria bom para o seu habitante pois este, ao crescer, acabaria por ficar preso dentro da própria concha; o caso \(\alpha =0% %TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xba}}% %BeginExpansion {{}^o}% %EndExpansion\) gera uma linha recta o que não tornaria a concha um bom esconderijo para o seu habitante.
- Para \(\alpha\) entre 0 e 90, forma-se uma espiral verdadeira, o que corresponde a um aumento da concha. Este processo de crescimento mantém a forma da concha e é chamado gnomónico. Este padrão de crescimento é tão comum que é referido por muitos como uma "lei da natureza".
Em coordenadas cartesianas, esta espiral, \(h(\theta) = (x(\theta), y(\theta))\), é definida por \[\begin{cases} x(\theta) & =r(\theta)\cos(\theta)\\ y(\theta) & =r(\theta)\sen(\theta) \end{cases}\]
Um fenómeno similar a este aqui apresentado pode ser observado no crescimento de muitos corais, caracóis e das unhas e cornos dos animais.
